On the partial differential equations between the derivatives of the hyperelliptic theta functions with respect to the parameters and with respect to the arguments. (Q1544043)

Im ersten Paragraphen giebt der Verfasser für die hyperelliptischen Functionen, wie sie Herr Weierstrass eingeführt hat, die zum Verständnis nötigen Formeln, in dem er sie mit \(\varTheta(u_\alpha)_\lambda\) bezeichnet (von Herrn Weierstrass, Crelle J. XLVII., sind sie mit Al\((u_1, u_2\dots)_\lambda\) bezeichnet worden). Im zweiten Paragraphen werden daraus die Differentialquotienten der Integrale erster, zweiter und dritter Gattung nach den Argumenten \(a_i\) (den Wurzeln der unter der Quadratwurzel vorkommenden Function \(R(x)\)), in der für die weitere Untersuchung geeigneten Form gegeben. Im dritten werden, von der im ersten Paragraphen gegebenen Darstellung des Integrals dritter Gattung durch die Function \(\varTheta\) ausgehend, die Normalintegrale zweiter Gattung durch die Ableitungen des \(\log \varTheta(u)\) nach den \(u_\alpha\) und eine in den \(x\) und \(\sqrt{R(x)}\) symmetrische Function ausgedrückt und einige andere notwendige Formeln entwickelt. Im vierten wird darauf durch Differentiation des im \(\S\) 3 erwähnten Ausdruckes nach \(a_1\) die gewünschte Differentialgleichung gefunden, zunächst für ganz specielle Formen der Normalintegrale und daraus für die allgemeinen. Dieselbe hat die Form: \[ 4R'(a_i)\;\frac{\partial\varTheta(u)}{\partial a_i} = \sum_{\alpha,\beta}\;G(a_i)_\alpha G(a_i)_\beta u_\alpha u_\beta \varTheta(u) \] \[ -2\sum_{\alpha,\beta}\;H(a_i)_\alpha G(a_i)_\beta u_\beta\;\frac{\partial \varTheta(u)}{\partial u_\alpha} + \sum_{\alpha,\beta}\;H(a_i)_\alpha H(a_i)_\beta\;\frac{ \partial^2 \varTheta(u)}{ \partial u_\alpha \partial u_\beta } \] \[ + 4R'(a_i) \left\{ \tfrac 12\, \sum_{\alpha,\beta}\;g_{\alpha\beta} u_\alpha u_\beta \varTheta(u) - \sum_{\alpha\beta}\;h_{\alpha\beta} u_\beta\;\frac{\partial\varTheta(u)}{\partial u_\alpha} + C\varTheta(u) \right\}. \] Die darin vorkommenden Functionen \(H\) und \(G\) sind dadurch definirt, dass: \[ \int H(x)_\alpha \frac{dx}{2\sqrt{R(x)}} \quad\text{und}\quad \int G(x)_\beta \frac{dx}{2\sqrt{R(x)}} \] die Normalintegrale erster und zweiter Gattung sind; durch sie sind auch die Constanten \(h_{\alpha\beta}\) und \(g_{\alpha\beta}\) gegeben. Den Schluss bildet der Nachweis, dass die gefundene Differentialgleichung unverändert für alle übrigen Functionen \(\varTheta(u)_\lambda\) gilt.