Ueber Poncelet-Zeuthen'sche Polygone, welche einem Gebilde zweiten Grades eingeschrieben sind. (Q1544291)

Herr Poncelet spricht in seinem Traité des prop. proj. (t. I. p. 78) den folgenden Satz aus: Bei einem \(n\)-Seit, dessen sämtliche Seiten eine und dieselbe Linie oder Fläche zweiten Grades berühren, entstehen auf jeder Seite durch den Berührungspunkt zwei Abschnitte, so dass das Product von \(n\) nicht aufeinander folgenden Abschnitten gleich dem Product der \(n\) übrigen nicht aufeinander folgenden Abschnitte ist. Nach der von Poncelet befolgten, auf dem Carnot'schen Satze beruhenden Methode kann man indessen nur schliessen, dass das eine Product dem andern dem absoluten Werte nach gleich sei. Jedoch bemerkte Plücker gelegentlich (System der analytischen Geometrie, S. 44), dass für ein einem Kegelschnitte umschriebenes Dreiseit die beiden Producte auch dem Zeichen nach gleich seien, und hieraus folgert der Verfasser, dass dies bei einem Kegelschnitt für jedes Polygon der Fall sein muss. Dann machte Herr Giuseppe Bruno (Torino Atti. F. d. M. XIV. 1882. 551, JFM 14.0551.01) darauf aufmerksam, dass das aus dem obigen Satze abgeleitete, übrigens schon von Brianchon ausgesprochene Corollar (in jedem einer Fläche zweiten Grades umschriebenen räumlichen Viereck liegen die Berührungspunkte in einer und derselben Ebene) nicht allgemein richtig sei, dass vielmehr der Ort der Berührungspunkte der vierten Seiten eines Vierseits, von dem die Berührungspunkte der drei ersten Seiten gegeben sind, aus vier reellen Kegelschnitten besteht, von denen nur einer mit dem Poncelet'schen zusammenfällt. Der Verfasser stellt sich nun in der vorliegenden Abhandlung (JFM 17.0622.02) die Frage, unter welchen Umständen überhaupt \(n\) beliebig auf einer Fläche zweiten Grades gegebene Punkte Berührungspunkte der Seiten eines geschlossenen Polygons werden können; naturgemäss erweitert sich diese Frage zu einer vom Verfasser vollständig durchgeführten Untersuchung über quadratische Mannigfaltigkeiten \(F\) von \(m-2\) Dimensionen überhaupt, wodurch für eine Vergleichung der scheinbar ganz heterogenen Verhältnisse in der Ebene, dem Punktraum und dem Linienraum Bahn gebrochen ist. Dabei zeigt sich, dass die Bestimmung solcher Polygone, deren Seiten nicht Erzeugende von \(F\) sind, immer mittels linearer Gleichungen erfolgt, während die aus Erzeugenden gebildeten Polygone von den Wurzeln einer reciproken Gleichung abhängen. Bei der Discussion der letzteren treten zwei schiefe Invarianten der Punktgruppe auf, welche mit den in Angriff genommenen Frage wesentlich verknüpft sind; für eine projectiv allgemeine Fläche zweiten Grades existiren bei ungeradem \(n\) stets zwei Polygone von der erwähnten Beschaffenheit, bei geradem \(n\) aber nur dann, wenn eine der Invarianten verschwindet, dann aber gleich unendlich viele. In der zweiten Abhandlung zeigt der Verfasser, dass von jenen beiden schiefen Determinanten auch die verwandte Aufgabe abhängt, ein geschlossenes Polygon zu construiren, dessen Ecken auf einem Gebilde zweiten Grades liegen, und dessen Seiten bezüglich durch gegebene feste Punkte gehen. So wird die Theorie der Poncelet-Zeuthen'schen Polygone (Poncelet, Applications d'analyse et de géométrie, Paris 1862, p. 145-248. Traité des propr. proj., I. p, 338-342. Zeuthen, Théorie des figures projectives sur une surface du second ordre, Math. Ann. XVIII. p. 33-40) und entsprechender Gebilde in höheren projectiven Räumen auf eine Gemeinsame Quelle zurückgeführt, nämlich auf die Theorie der schiefen Determinanten.