Metrische Eigenschaften der kubischen Parabel. (Q1544325)

Von Herrn Ad. Hurwitz (vergl. Math Ann. XXV. 287-292) wurde zunächst das räumliche Analogon zu der Eigenschaft der ebenen Parabel gefunden, wonach der Inhalt eines Parabelsegments gleich \(\frac{2}{3}\) von dem Inhalte des Dreiecks ist, welches die zugehörige Parabelsehne und die Tangenten in den Endpunkten derselben einschliessen. Einer darauf bezüglichen Mitteilung des Herrn Hurwitz verdankt Herr Schröter die Anregung zur vorstehenden Untersuchung, die freilich von ganz anderen Gesichtspunkten ausgeht, als die Arbeit von Hurwitz. Herr Schröter knüpft nämlich enger an die Bestimmung eines Parabelsegments durch Archimedes und an die von Möbius (der barycentrische Kalkül, S. 230 und 392) entdeckten Eigenschaften über ein- und umbeschriebene Dreiecke der Parabel an und findet eine grosse Reihe von neuen Eigenschaften der kubischen Parabel, d. h. einer solchen Raumcurve dritter Ordnung, welche die unendlich ferne Ebene zur Schmiegungsebene hat. Die meisten dieser Eigenschaften beziehen sich auf die durch je zwei Punkte der kubischen Parabel erzeugten Schmiegungstetraeder. Ein solches hat zu Ecken erstens die beiden erzeugenden Punkte und zweitens die beiden Punkte, die man erhält, wenn man die Tangente des einen mit der Schmiegungsebene des andern zum Schnitt bringt. Für solche Schmiegungstetraeder findet Herr Schröter durch möglichst geometrische Betrachtungen die folgenden Sätze: Ist \(ABCD\) das den Punkten \(A\) und \(B\) angehörige Schmiegungstetraeder und \(T\) ein beliebiger Punkt der Sehne \(AB\), so ist \(\root3\of{ACDT}+\root3\of{BCDT}=\root3\of{ABCD}\). Sind ferner \(A, B, C\) drei Punkte einer kubischen Parabel, und ist \(CA\) die grösste der drei Sehnen \(AB, BC, CA,\) so ist \(\root6\of{S_a}+\root6\of{S_c}=\root 6\of{S_b}\), wo \(S_a,S_b,S_c\) bezw. die den Sehnen \(BC,CA,AB\) zugehörigen Schmiegungstetraeder bedeuten. Interessant ist auch das räumliche Analogon zu der Eigenschaft der ebenen Parabel, dass der Inhalt eines einbeschriebenen Dreiecks doppelt so gross wie der Inhalt des von den Tangenten in seinen Ecken gebildeten Dreiecks ist. Dieses räumliche Analogon lautet: Das von vier Punkten einer kubischen Parabel gebildete Tetraeder hat neunmal soviel Volumen, wie das Tetraeder, welches von den diesen vier Punkten zugehörigen Schmiegungsebenen gebildet wird. Nach mehreren Sätzen, die wir hier übergehen, gelangt der Verfasser dann vermittelst einer Integration zu dem Hurwitz'schen Satze: Projicirt man von den Ecken \(C\) und \(D\) des der Sehne \(AB\) angehörigen Schmiegungstetraeders \(ABCD\) den geschlossenen Umring, welcher von der Parabelsehne \(AB\) und dem Parabelbogen \(AB\) gebildet wird, so schliessen diese beiden konischen Flächen ein Volumen ein, welches \(\frac{9}{10}\) von dem Volumen des Schmiegungstetraeders ist. Schliesslich gelangt Herr Schröter noch zu folgendem Resultate: Die geradlinige abwickelbare Fläche vierter Ordnung, welche von sämtlichen Tangenten der kubischen Parabel gebildet wird, teilt das zwei beliebigen Punkten \(A\) und \(B\) zugehörige Schmiegungstetraeder \(ABCD\) immer so, dass das \(AB\) anliegende Stück \(\frac{29}{30}\) und das \(CD\) anliegende Stück \(\frac{1}{30}\) des ganzen Schmiegungstetraeders beträgt.