Bemerkungen über pseudosphärische Mannigfaltigkeiten von drei Dimensionen. (Q1544448)

Herr Suworoff hat (Darb. Bull. (I) IV. 180. 1873) für einen Raum von drei Dimensionen den Differentialausdruck für das Linienelement untersucht und gefunden, dass bei Transformation der Variabeln gewisse aus den Coefficienten des Linienelementes gebildete Ausdrücke invariante Eigenschaften haben, entsprechend dem Krümmungsmass in einem Raume von zwei Dimensionen. Der dritte dieser invarianten Ausdru\"cke ist nun, wie Herr Brill zeigt, wesentlich positiv, wenn die Mannigfaltigkeit von drei Dimensionen aus einer ebenen Mannigfaltigkeit von vier Dimensionen durch eine Gleichung \(f(x,y,z,t)=0\) ausgeschieden wird. Der Verfasser schliesst hieraus, dass es hiernach unmöglich ist, solche Räume, für welche vermöge der eigentümlichen Beschaffenheit ihres Linienelementes die fragliche Invariante eine wesentlich negative Grösse wird, aus einem ebenen Raume von vier Dimensionen durch eine Gleichung zwischen vier Variabeln auszusondern. Insbesondere können demnach Räume von constantem negativem Krümmungsmass nicht in einem ebenen Raume von vier Dimensionen enthalten sein; dagegen steht nichts im Wege, einen pseudosphärischen Raum durch zwei Gleichungen aus einer ebenen Mannigfaltigkeit von fünf Dimensionen auszuscheiden. Letzteres wird am Schlusse ausgeführt.