Sur quelques formules de la théorie des courbes gauches. (Q1544467)

Herr Lecornu (JFM 17.0746.01) entwickelt folgende Formeln. Bedeuten \(R\) und \(T\) die Radien der ersten und zweiten Krümmung (Torsion) im Punkte \(P\) einer Curve und werden die Ableitungen nach dem Bogen \(S\) durch Accente bezeichnet, so dass der Radius der osculirenden Kugel \(\varrho = \sqrt{R^2+ R'^2T^2}\) ist, so hat der Nachbarpunkt \(P^I\); dessen Entfernung von \(P\) gleich \(dS\) ist, von der osculirenden Kugel den Abstand \[ \varepsilon=\,\frac{dS^4}{24\varrho} \left( \,\frac{R'T'}{RT}+\,\frac{R''}{R}+\,\frac{1}{T^2} \right) = \,\frac {dS^4}{24}\,\frac {\varrho'}{RR'T^2}\cdot \] Nennt man das Bogenelement der vom Mittelpunkte der Osculirenden Kugel beschriebenen Curve \(dS_1\) und bezeichnet man alle sich auf diese Curve beziehenden Grössen dementsprechend, so ist \[ \varepsilon = \,\frac {dS^2 dS^2_1}{24RR_1\varrho}. \] Setzt man noch \[ h = \,\frac{dS^2}{2R},\quad h_1 = \,\frac{dS^2_1}{2R_1}, \] so ist \(h\) der Abstand des Punktes \(P^I\) von der Tangente in \(P\) und \(h_1\) hat die analoge Bedeutung, und es ist \[ 2\varepsilon\varrho = \,\frac {1}{3}\;hh_1, \] \( 2\varepsilon\varrho\) aber ist die Potenz des Punktes \(P^I\) in Bezug auf die in \(P\) osculirende Kugel. Herr Gilbert nimmt aus der eben besprochenen Note des Herrn Lecornu Veranlassung, auf zwei andere Formeln für dieselbe Grösse hinzuweisen, welche teils von Herrn Ruchonnet teils von ihm selbst herrühren. Herr Ruchonnet findet \[ \varepsilon =\,\frac {ds^3.ds_1}{24\varrho RT}, \] wo \(ds_1\) das Bogenelement der Gratlinie der Polarfläche (welcher ?) bedeutet (Nouv. Ann. (2) IX. p.457). Herr Gilbert kommt auf die Formel \[ \varepsilon = \,\frac {R'ds^4}{24\varrho RT^2} \] (Nouv. Ann. (2) XII. p. 132). Der Unterschied zwischen einem unendlich kleinen Bogen und seiner Projection auf die Schmiegungschene in seinem Anfangspunkte ergiebt sich hieraus gleich \[ \,\frac {1}{40}\;\,\frac {ds^5}{R^2T^2}\cdot \]