Sur l'action réciproque de deux sphères electrisèes. (Q1544625)

Ist die Entfernung zweier isolirten, zu den Potentialen \(V\) und \(V'\) geladenen Kugeln einigermassen gross gegen ihre Radien, so kann man die Thomson'schen, auf der Methode der elektrischen Bilder beruhenden Formeln wesentlich vereinfachen, indem man alle Bilder in der ersten Kugel mit dem ersten derselben, dem conjugirten Punkt des Mittelpunkts der zweiten Kugel in Bezug auf die erste Kugel, zusammenfallen lässt, und analog für die zweite Kugel. Sind beide Radien = \(r\), die Entfernung der Mittelpunkte \(d = cr\), so ergiebt sich auf diese Weise die Ladung der ersten Kugel \(m = m_1-m_2\), wo \(m_1\) und \(m_2\) nach aussen so wirken, als ob sie sich im Mittelpunkt der ersten Kugel, resp. in ihrem ersten Bildpunkt, d. h. in der Entfernung \(\frac{r^2}{d}=\frac rc\) von ihrem Mittelpunkt befänden; analog die Ladung der zweiten Kugel \(m' = m_1' - m_2'\). Und zwar findet man leicht \[ m_1 = rV,\quad m_2 =\frac rc \frac{(c^2-1)^2}{(c^2-1)^2-c^2} \left( V'-\frac{c}{c^2-1} V \right), \] \[ m_1' = rV',\quad m_2' =\frac rc \frac{(c^2-1)^2}{(c^2-1)^2-c^2} \left( V-\frac{c}{c^2-1} V' \right)\cdot \] Die zwischen beiden Kugeln wirkende Kraft ist also \[ F=\frac{m_1m_1'}{c^2r^2} - \frac{c^2}{r^2} \frac{m_1m_2'+m_2m_1'}{(c^2-1)^2} + \frac{c^2}{r^2} \frac{m_1'm_2'}{(c^2-2)^2} \cdot \] Für \(V = V'\) und \(c = 4\) weichen die hiernach berechneten Werte von \(\frac{m}{rV}\) und \(\frac{F}{V^2}\) erst in der fünften Decimale von den genauen Werten ab.