Sull' equivalenza delle distribuzioni magnetiche e galvaniche. (Q1544661)

1) Soll eine magnetische Verteilung innerhalb eines Raumes \(S\), deren Momente \(\alpha, \beta, \gamma\) beliebige monodrome und monogene Functionen der Coordinaten \(a,b,c\) sind, und deren Potential \[ (1)\quad P=\int \left( \alpha\frac{d\frac 1r}{da} + \beta\frac{d\frac 1r}{db} + \gamma\frac{d\frac 1r}{dc} \right) dS \] ist, durch ein System von inneren und Flächenströmen mit den Dichtigkeitscomponenten \((u, v, w)\) und \((u_1,v_1,w_1)\) sich ersetzen lassen, so müssen die Componenten des Vectorpotentials beider Systeme im ganzen unendlichen Raum einander gleich sein. Setzt man nun \[ (2)\quad A=\int\frac{\alpha}{r} dS,\quad B=\int\frac{\beta}{r} dS,\quad C=\int\frac{\gamma}{r} dS, \] woraus \[ (3)\quad P=-\left( \frac{dA}{dx} + \frac{dB}{dy} +\frac{dC}{dz} \right), \] so sind die Componenten des Vectorpotentials des Magneten \[ (4)\quad U=\frac{dB}{dz}-\frac{dC}{dy},\quad V=\frac{dC}{dx} - \frac{dA}{dz},\quad W=\frac{dA}{dy} - \frac{dB}{dx}, \] und die des Stromsystems \[ (4^{\text{a}})\quad U_1 = \int\frac ur dS + \int \frac{u_1}{r} d\sigma \text{ u.s.w. } \] Nun ergiebt sich ohne weiteres \[ U=\int\left( \gamma\frac{d\frac 1r}{db} - \beta\frac{d\frac 1r}{dc} \right) dS \] \[ =\int\left( \frac{d\beta}{dc} - \frac{d\gamma}{db} \right) \frac{dS}{r} + \int \left( \beta\frac{dc}{dn} - \gamma\frac{db}{dn}\right) \frac{d\sigma}{r}, \] wo \(dn\) die innere Normale der Oberfläche \(\sigma\) bedeutet; die Gleichungen \(U = U_1\) u. s. w., sind also im ganzen Raume erfüllt, wenn man setzt \[ (5)\quad \begin{cases} u=\frac{d\beta}{dc} - \frac{d\gamma}{db} \text{ u.s.w.} \\ u_1=\beta\frac{dc}{dn} - \gamma\frac{db}{dn} \text{ u.s.w.} \end{cases} \] Hiernach ist die verlangte Substitution immer und nur auf eine Art möglich; ferner ergiebt sich aus (5) \[ (5^{\text{a}})\quad \frac{du}{da}+\frac{dv}{db} + \frac{dw}{dc} =0, \quad u_1\frac{da}{dn} + v_1\frac{db}{dn} + w_1\frac{dc}{dn}=0, \] d. h. durch jeden Querschnitt eines bestimmten inneren Stromfadens geht dieselbe Elektricitätsmenge, die inneren Ströme sind also constant; und die Ströme \((u_1, v_1, w_1)\) verlaufen in der That an der Oberfläche. Brechen an einem Stück \(\sigma\) der Oberfläche innere Stromfäden ab, so geht durch dieses Stück nach aussen die Elektricitätsmenge \[ e=-\int \left( u\frac{da}{dn} +v\frac{db}{dn} +w\frac{dc}{dn} \right) d\sigma. \] Durch seinen Umfang \(s\) geht aber nach aussen die Elektricitätsmenge \[ e_1=-\int \left( u_1\frac{da}{d\nu} +v_1\frac{db}{d\nu} +w_1\frac{dc}{d\nu} \right) ds, \] wo \(d\nu\) die innere Normale von \(s\) bezeichnet; nach der Gleichung (3) der vorigen Abhandlung und den zwei analogen ist aber, wenn man darin \(X = \alpha, Y = \beta, Z = \gamma\) setzt, \[ -\int\left( u\frac{da}{dn} + \cdots \right) d\sigma = \int \left( \alpha\frac{da}{ds} + \cdots \right) ds, \] oder, da bekanntlich \[ (a)\quad \frac{da}{ds} = \frac{db}{d\nu}\frac{dc}{dn} - \frac{dc}{d\nu} \frac{db}{dn} \text{ u.s.w.}, \] also \[ (b)\quad \alpha\frac{da}{ds} + \cdots = -\left( u_1\frac{da}{d\nu} + \cdots \right) \] ist \[ (5^{\text{a}})\quad \int\left( u\frac{da}{dn} + \cdots \right) d\sigma = \int\left( u_1\frac{da}{d\nu} + \cdots \right) ds, \text{ d.h. } e=e_1. \] Es findet also auch an der Oberfläche keine Anhäufung von Elektricität statt, sondern jeder an der Oberfläche abbrechende innere Stromfaden findet seine Fortsetzung in der Flächenströmung; beide Strömungen bilden also in ihrer Gesamtheit ein System constanter und geschlossener Ströme. Dagegen sind die Flächenströme für sich nicht constant, weil von den einen unendlich dünnen Stromfaden bildenden Stromlinien in jedem Punkt einzelne abbrechen. Die Componenten der Magnetkraft des magnetischen Systems oder des äquivalenten Stromsystems sind bekanntlich \[ (6)\quad X=\frac{dV}{dz} - \frac{dW}{dy} \text{ u.s.w.;} \] oder, wie sich aus den Gleichungen (2), (3), (4) ergiebt, \[ (6^{\text{a}})\quad X=-\frac{dP}{dx} + 4\pi \alpha \text{ u.s.w.;} \] diese Werte reduciren sich im äussern Raum, wo \(\alpha = \beta = \gamma = 0 \) ist, auf \(-\frac{dP}{dx}\) u. s. w., und stimmen im Innern mit dem überein, was Maxwell die ``Componenten der magnetischen Induction'' nennt. (Der Verfasser scheint das Problem der Substitution auf die Identität der Wirkungen im äussern Raum zu beschränken; diese Beschränkung ist indessen unnötig, da die zwei angegebenen Systeme sowohl im innern als im äussern Raum in ihren ponderomotorischen und elektromotorischen Wirkungen, wenn man diese im Sinne von Maxwell definirt, äquivatent sind). 2) Wenn umgekehrt ein gegebenes, einen Raum \(S\) erfüllendes, constantes und geschlossenes System von inneren und Flächenströmen, d. h. von Strömen, welche den Gleichungen \((5^{\text{a}})\) und \((5^b)\) genügen, sich durch eine magnetische Verteilung \(M\) im Innern des Raums \(S\) ersetzen lässt, so bestimmen sich die magnetischen Momente \(\alpha,\beta,\gamma\) durch die Gleichungen \((6^{\text{a}})\), in denen \(X\) die (oben nach Maxwell definirte) innere Magnetkraft des Systems \(M\), folglich auch des gegebenen Stromsystems, da dieses nach Gleichung (5) durch das System \(M\) eindeutig bestimmt ist, \(P\) das innere Potential des Systems \(M\) bezeichnet. Es fragt sich aber, ob sich immer ein solches magnetisches System finden lässt, d. h. ob sich immer drei monodrome und monogene Functionen \(\alpha,\beta,\gamma\) bestimmen lassen, welche überall im Raum \(S\) den drei ersten, auf der Oberfläche den drei andern Gleichungen (5) genügen, während zugleich die \(u\) und \(u_1\) die Gleichungen \((5^{\text{a}})\) und \((5^b)\) erfüllen. Soll es ein solches äquivalentes magnetisches System geben, so müssen die Componenten \(U_1,V_1,W_1\) des Vectorpotentials des gegebenen Stromsystems der Gleichung \[ (7)\quad \frac{dU_1}{dx} + \frac{dV_1}{dy} + \frac{dW_1}{dz}=0 \] genügen, da nach (4) die \(U, V, W\) dieser Gleichung genügen; nach \((4^{\text{a}}), (5^{\text{a}})\) geht diese Gleichung über in \[ \int\left( u\frac{da}{dn} + \cdots \right) \frac{d\sigma}{r} - \int\left( u_1\frac{d\frac 1r}{da} + \cdots \right) d\sigma =0. \] Durch Einführung von F1ächencoordinaten zeigt nun der Verfasser, dass die letztere Gleichung aus \((5^b)\) folgt; die Gleichung (7) ist also in der That eine Folge der Voraussetzungen \((5^{\text{a}})\) und \((5^b)\). Aus (7), den Gleichungen \(\varDelta U_1 = - 4\pi u\) u. s. w., und den Gleichungen (6), in denen \(U_1, V_1, W_1\) statt \(U, V, W\) zu setzen sind, folgt nun \[ 4\pi u = \int{dY}{dc} - \frac{dZ}{db} \text{ u.s.w. } \] Hiernach genügen die durch die Gleichung \((6^{\text{a}})\) gegebenen Werte von \(\alpha,\beta,\gamma\) den drei ersten Gleichungen (5), und es bleibt noch zu untersuchen, ob das in Gleichung \((6^{\text{a}})\) vorkommende Potential \(P\) des äquivalenten Magnetismus, also eine Function, welche sich an der Oberfläche auf das gegebene äussere Potential \(P'\) des Stromsystems reducirt, sich so bestimmen lässt, dass an der Oberfläche auch die drei letzten Gleichungen (5) erfüllt werden. Diese Gleichungen lassen sich durch die eine ersetzen \[ (8)\quad \begin{cases} u_1\frac{da}{d\nu} + v_1\frac{db}{d\nu} + w_1\frac{dc}{d\nu} \\ =-\left( \alpha\frac{da}{ds} + \beta\frac{db}{ds} + \gamma\frac{dc}{ds} \right) , \end{cases} \] wo \(ds, d\nu\) zwei beliebige auf einander senkrechte Richtungen auf der Oberfläche bezeichnen, wie sich leicht aus Gleichung (a) ergiebt. Durch \((6^{\text{a}})\) geht nun Gleichung (8) über in \[ (8^{\text{a}})\quad \begin{cases} -\frac{dP}{ds} = X\frac{da}{ds} + Y\frac{db}{ds} + Z\frac{dc}{ds} \\ + 4\pi\left( u_1\frac{da}{d\nu} +v_1\frac{db}{d\nu} + w_1\frac{dc}{d\nu} \right). \end{cases} \] Bezeichnen wir aber mit \(X', U', W'\) u. s. w., die äusseren Werte von \(X\) und \(U_1\) an der Oberfläche, so folgt aus (6) ünd \((4^{\text{a}})\) \[ X-X' = \frac{dV_1}{dc} - \frac{dV_1'}{dc} -\left( \frac{dW_1}{db} - \frac{dW_1'}{db} \right) \] \[ =\left( \frac{dV_1}{dn} - \frac{dV_1'}{dn} \right) \frac{dc}{dn} - \left( \frac{dW_1}{dn} - \frac{dW_1'}{dn} \right) \frac{db}{dn} \] \[ =-4\pi \left( v_1 \frac{dc}{dn} - w_1\frac{db}{dn} \right), \] wodurch Gleichung \((8^{\text{a}})\) übergeht in \[ -\frac{dP}{ds} = X'\frac{da}{ds} + Y'\frac{db}{ds} + Z'\frac{dc}{ds}, \] oder, da \[ X'=-\frac{dP'}{da} \] ist, in \[ \frac{dP}{ds} = \frac{dP'}{ds}, \] welche Gleichung nur die schon oben ausgesprochene Bedingung ausdrückt, dass sich an der Oberfläche \(P\) auf \(P'\) reduciren muss. Somit genügen in der That die Werte \((6^{\text{a}})\) von \(\alpha,\beta,\gamma\) allen Bedingungen, wenn man darin für \(P\) eine monodrome, übrigens aber beliebige Function für den innern Raum nimmt, welche sich an der Oberfläche auf das äussere Potential des gegebenen Stromsystems reducirt, und diese Function ist dann das innere Potential des äquivalenten Magnetismus. Die verlangte Substitution ist also immer möglich, wenn das äussere Potential des gegebenen Stromsystems eine monodrome Function ist; und zwar auf unendlich viele Arten.