On the electromagnetic level layers. (Q1544662)

Der Verfasser stellt folgenden Satz auf. ``Es sei \(\varphi\) das magnetische Potential eines Systems \(\varSigma\) von Strömen oder Magneten, \(\sigma\) eine Fläche, welche von sämtlichen Flächen \(\varphi\) = Const. senkrecht geschnitten wird und welche den unendlichen Raum in zwei Teile \(S\) und \(S'\) teilt, von denen nur \(S'\) das gegebene Stromsystem enthält; ferner \(N\) die Normale einer Fläche \(\varphi\) = Const. Nimmt man auf \(\sigma\) ein System von Flächenströmen an, welche in den Schnittlinien von \(\sigma\) mit den Flächen \(\varphi\) = Const. circuliren, und deren Dichtigkeit \(i=\frac{1}{4\pi} \frac{d\varphi}{dN}\) ist, so ist das magnetische Potential dieses Stromsystems innerhalb \(S = \varphi\), innerhalb \(S' = O''\). Der Verfasser beweist diesen Satz mittels der Resultate der vorigen Abhandlung; derselbe ergiebt sich indessen, wenigstens für einen einfach zusammenhängenden Raum, auch unmittelbar aus dem von Maxwell (II, pg. 344) abgeleiteten Ausdruck für das magnetische Potential eines Systems von Flächenströmen (``current - sheet'') von der Dichtigkeit \(i = \frac{1}{4\pi}\frac{d\varphi}{dN}\), nämlich \( P=\frac{1}{4\pi} \int \varphi\frac{d\frac 1r}{dn} d\sigma\), wo \(dn\) die Normale der Fläche \(\sigma\) bezeichnet; da nämlich innerhalb \(S\) \(\varDelta\varphi = 0\), auf \(\sigma\frac{d\varphi}{dn}=0\) ist, so ergiebt sich mittels des Green'schen Satzes innerhalb \(S\) \(P = \varphi\), innerhalb \(S'P = 0\). Den obigen Satz wendet der Verfasser auf ein Stromsystem \(\varSigma\) an, welches in dem Raum \(S'\) ausserhalb der Fläche \(\sigma\) eines einschaligen Hyperboloids (resp. in dem innern Raum \(S\)) liegt, und dessen Niveauflächen die ellipsoidischen (resp. hyperboloidischen) Orthogonalflächen von \(\sigma\) sind; das Stromsystem \(i\) circulirt dann längs den elliptischen (resp. hyperbolischen) Krümmungslinien von \(\sigma\), und sein Potential ist in \(S'\) (resp. in \(S\))=0. Das Potential in \(S\) (resp. \(S'\)) ergiebt sich aus bekannten Formeln (Kirchhoff, Mechanik, pg. 201); bezeichnet man nämlich mit \(u,v,w\) die drei dem Ellipsoid, dem einschaligen und dem zweischaligen Hyperboloid entsprechenden Wurzeln der Gleichung \[ \frac{x^2}{a^2+\lambda} + \frac{y^2}{b^2+\lambda} + \frac{z^2}{c^2+\lambda} = 1,\quad \text{ wo } a^2>b^2>c^2, \] und setzt \[ F(\lambda) = (a^2+\lambda)(b^2+\lambda)(c^2+\lambda), \] \[ U=\int_{-c^2}^u \frac{du}{\sqrt{F(u)}},\quad W=\int_{-a^2}^w \frac{dw}{\sqrt{F(w)}}, \] so ist \(\varphi = U\), resp. \(\varphi = W\). Existiren beide Stromsysteme gleichzeitig auf der Fläche \(\sigma\), so bilden sie, je nach der Richtung, in welcher sie fliessen, ein Stromsystem längs der Linien \(U\mp W\) = Const., dessen Potential innerhalb \(S = U\) innerhalb \(S' = W\) ist.