On electrical oscillations and the éffects produced by the motion of an electrified sphere. (Q1544684)

Ein geladener sphärischer Conductor befinde sich in einem nach allen Seiten sich ins Unendliche erstreckenden Dielektricum; die Componenten der elektrischen Verschiebung seien \((f, g, h)\), die Stromcomponenten \((u, v, w)\), die Componenten des Vectorpotentials \((F, G, H)\), das elektrostatische Potential \(\varphi\), die ``specific inductive capacity'' K, der specifische Widerstand \(\sigma\), die magnetische Permeabilität im Dielektricum und im Leiter \(\mu\) und \(\mu'\). 1) In dem Dielektricum gelten nach Maxwell die Gleichungen \[ (1)\quad \frac{4\pi}{K} f=-\frac{d\varphi}{dx} - \frac{dF}{dt}, \] ferner \[ u=\frac{df}{dt},\quad 4\pi\mu u=-\varDelta F, \] also \[ (2)\quad \varDelta F=-4\pi\mu\frac{df}{dt},\quad \frac{df}{dx} + \frac{dg}{dy} + \frac{dh}{dz} = 0,\quad \varDelta\varphi=0, \] woraus noch \(\frac{dF}{dx}+\frac{dG}{dy}+\frac{dH}{dz}=0\) folgt. Im Leiter ist, wenn nur auf seiner Oberfläche Elektricität vorhanden ist, \[ (1^{\text{a}})\quad \sigma u=-\frac{d\varphi}{dx} - \frac{dF}{dt}, \] \[ (2^{\text{a}})\quad \varDelta F=-4\pi\mu'u,\quad\frac{du}{dx}+\frac{dv}{dy}+\frac{dw}{dz} = 0, \quad \varDelta\varphi=0, \] woraus wieder \(\frac{dF}{dx} + \frac{dG}{dy} + \frac{dH}{dz}=0 \) folgt. Hiernach ist \(F\) (analog \(G\) und \(H\)) ein Potential einer Dichtigkeit \(\mu\frac{df}{dt}\) im Dielektricum und \(\mu'u\) im Leiter; es ist also im ganzen Raum endlich und continuirlich, wenn \(\frac{df}{dt}\) und \(u\) überall endlich sind. Aus (1) und (2) folgt \[ \frac{1}{\mu K}\varDelta F=\frac{d^2F}{dt^2} + \frac{d^2\varphi}{dxdt} \] oder, wenn sämtliche Functionen den Factor \(e^{ipt}\) enthalten, \[ \varDelta\left( F-\frac ip \frac{d\varphi}{dx} \right) = -\mu Kp^2\left( F-\frac ip \frac{d\varphi}{dx} \right), \] woraus \[ (3)\quad F=\frac ip \frac{d\varphi}{dx} + F_1,\quad \varDelta F_1 = -\lambda^2F_1,\quad \lambda=p\sqrt{\mu K}. \] Führen wir Kugelcoordinaten \((r, \vartheta, \psi)\) ein und bezeichnen mit \(Y_n\) eine Kugelfunction \(n\) ten Grades von \(\vartheta\) und \(\psi\), so folgt aus (3) bekanntlich \(F_1 = _n\varSigma f_n(\lambda r) Y_n\), wo \[ f_n(\zeta) = \frac{1}{\sqrt\zeta} [aJ^{n+\frac 12}(\zeta) + (-1)^nbJ^{-(n+\frac 12)} (\zeta)] \] \[ =\frac 12 (-1)^n\zeta^n \zeta^n \left( \frac{1}{\zeta}\frac{d}{d\zeta} \right)^n \left[ \frac{ (b-ia)e^{i\zeta} + (b+ia)e^{-i\zeta}}{\zeta} \right], \] wo \(J\) die Bessel'sche Function und \(\left( \frac{1}{\zeta} \frac{d}{d\zeta} \right)^n\) ein symbolisches Product, \(a\) und \(b\) beliebige Constanten bezeichnen. Das für \(r = 0\) endlich bleibende Integral erhält man hieraus für \(b = 0\), nämlich \[ (4)\quad S_n(\zeta) = \zeta^n\left( \frac{1}{\zeta} \frac{d}{d\zeta} \right)^n \left( \frac{\sin \zeta}{\zeta} \right) \cdot \] Da offenbar in \( p=\alpha+i\beta\;\; \beta>0\) genommen werden muss, so ist auch in \(\lambda r=\zeta=\alpha'+i\beta' \;\; \beta'>0\); das für \(r =\infty\) verschwindende Integral ist also \[ (4^{\text{a}})\quad E_n(\zeta)=\kappa \left( \frac 1\kappa \frac{d}{d\kappa} \right)^n \left( \frac{e^\kappa}{\kappa} \right),\quad \kappa=i\zeta. \] In dem Leiter folgt aus \((1^{\text{a}})\) und \((2^{\text{a}})\) \[ \varDelta\left( F-\frac ip \frac{d\varphi}{dx} \right) = \frac{4\pi\mu'}{\sigma} ip\left( F-\frac ip \frac{d\varphi}{dx} \right), \] also \[ (3^{\text{a}})\quad F=\frac ip \frac{d\varphi}{dx} + F_1,\quad \varDelta F_1=-\lambda_1^2 F_1,\quad \lambda_1^2 = - \frac{4\pi\mu'}{\sigma} ip. \] Mithin ist \[ (5)\quad \begin{cases} \text{ im Dielektricum} & F_1=_n\varSigma E_n(\lambda r) Y_n, \\ \text{ im Leiter } & F_1=_n\varSigma S_n(\lambda_1 r) Y_n. \end{cases} \] Es sei nun der Leiter eine dünne Kugelschale vom Radius \(a\), in welcher eine anfängliche elektrische Verteilung besteht, welche durch eine Kugelfunction des Winkels \(\vartheta=(r,z)\), \[ Q_n=\frac{(-1)^n}{\varPi(n)} r^{n+1} \frac{d^n\frac 1r}{dz^n} \] ausgedrückt ist; zur Zeit \(t = 0\) werde die verteilende Kraft plötzlich aufgehoben. Dann ist ausserhalb der Kugel \[ \varphi=Ae^{ipt} \frac{Q_n}{r^{n+1}}, \] innerhalb \[ \varphi = Ae^{ipt} \frac{r^n}{a^{2n+1}} Q_n. \] Ferner können wir nach (3) setzen, indem wir \[ Y_{n+1} = r^{n+2} \frac{d}{dx} \left( \frac{Q_n}{r^{n+1}} \right),\quad Y_{n-1} = \frac{1}{r^{n-1}} \frac{d}{dx} (r^nQ_n) \] nehmen \[ (6)\quad \begin{cases} F=\frac{iA}{p} e^{ipt} \frac{d}{dx} \left( \frac{Q_n}{r^n+1} \right) + \\ Be^{ipt} \left[ E_{n+1} (\lambda r) r^{n+2} \frac{d}{dx} \left( \frac{Q_n}{r^{n+1}} \right) + \frac{n+1}{n} \frac{E_{n-1}}{r^{n-1}} \frac{d}{dx} \left(r^nQ_n \right) \right], \end{cases} \] analog \(G\) und \(H\), wodurch die Gleichung \(\frac{dF}{dx}+\cdots = 0\) erfüllt ist. Im Innern der Hohlkugel gilt derselbe Wert von \(F\), nur wird \(S_n\) statt \(E_n\), \(C\) statt \(B\), und im ersten Gliede \(\frac{r^n}{a^{2n+1}}\) statt \(\frac{1}{r^{n+1}}\) gesetzt. Danach giebt die Bedingung der Continuität von \(F\) die zwei Gleichungen \[ (7)\quad \begin{cases} \frac{1}{a^{n+2}} \frac{iA}{p} = CS_{n+1}(\lambda a) - BE_{n+1} (\lambda a) \\ =-\frac{n+1}{n} [CS_{n-1} (\lambda a) - BE_{n-1}(\lambda a)]. \end{cases} \] Ist ferner \(q\) die Stromdichtigkeit auf der Kugelschale, \(s\) ihre Richtung, so ist nach \((1^{\text{a}})\) \[ \sigma q=-ip(F_1\cos sx+\cdots ); \] ferner, wenn \(\varepsilon\) die Flächendichte bezeichnet, \[ a\sin\vartheta\frac{d\varepsilon}{dt} =-\frac{d(q\sin\vartheta)}{d\vartheta},\quad \varepsilon=\frac{K}{4\pi} Ae^{ipt} \frac{2n+1}{a^{n+2}} Q_n; \] woraus \[ (8)\quad \frac{\sigma K}{4\pi} A\frac{ 2n+1}{n(n+1)a^{n+1}} = -C\left[ S_{n+1}(\lambda a)+ \frac{n+1}{n} S_{n-1} (\lambda a) \right]. \] Aus (7) und (8) bestimmen sich \(B\) und \(C\) durch \(A\), und die Elimination derselben giebt eine Gleichung zur Bestimmung von \(\lambda a=pa\sqrt{\mu K} = \frac{pa}{v_0}\), wo \(v_0\) die Lichtgeschwindigkeit bezeichnet; da \(p = \frac{2\pi}{\tau}\) , wenn \(\tau\) die Schwingungsdauer bezeichnet, und \(\frac{a}{v_0}=\tau_0\), wo \(\tau_0\) die Zeit bedeutet, welche das Licht zum Durchlaufen des Radius braucht, und da ferner für \(\lambda a\) aus der Gleichung sich ein endlicher Wert ergiebt, so ist \(T\) von der Ordnung \(\tau_0\). 2) Der Verfasser betrachtet ferner eine in einem Dielektricum oscillirende elektrisch geladene Kugel und bestimmt die Componenten des Vectorpotentials und daraus die Magnetkraft im äussern Raum; bei constanter Geschwindigkeit \(v\) ergiebt sieh dieselbe gleich der eines in die Bewegungsrichtung fallenden Stromelements \(Jds = vE\), wo \(E\) die Ladung bezeichnet.