Sur les unités complexes. (Q1544928)

Dirichlet hat die Hauptresultate seiner fundamentalen Untersuchungen über die complexen Zahlen mit Andeutungen der Beweise in den Berl. Ber. (1841; 1842; 1846) gegeben. Als Hauptpunkt der Theorie hebt er hervor, dass, wenn die verschiedenen absoluten Werte der Wurzeln der Fundamentalgleichung die Anzahl \(h\) aufweisen, \((h-1)\) unabhängige complexe Einheiten gefunden werden können. Dieser Hauptpunkt erfährt in der vorliegenden Arbeit eine wesentlich neue Beleuchtung; sein Beweis stellt sich auf Grund allgemeiner Grössenbetrachtungen, deren Tragweite über die hier gemachten Anwendungen hinausgeht, in einfachster Weise dar. Wir geben, möglichst gedrängt, eine Uebersicht des Inhalts dieser fundamentalen Arbeit. In \[ (w,\; z_{\alpha})=w'z_{\alpha}'+w''z_{\alpha}''+\dotsm +w^{(n)}z_{\alpha}^{(n)} \quad (\alpha = 1,\; 2,\ldots ,\nu ) \] mögen die \(w\) ganze Zahlen und die \(z\) reelle oder complexe Grössen bedeuten, die so beschaffen sind, dass für ganze \(w\) eine Relation \((w,\; z_{\alpha})=0\) unmöglich ist. Den \(w\) geben wir \(m\) Wertsysteme und verteilen die für jedes \(\alpha =1,\; 2,\ldots ,\;\nu\) entstandenen \(m\) Ausdrücke \((w,\; z_{\alpha})\) in \(t_{\alpha}\) Gruppen \(G_{\alpha}\). Dann giebt es (wenn \(E(x)\) die grösste in \(x\) enthaltene ganze Zahl ist) \(m_{\nu} \geqq E\left( \frac m{t_1\; t_2\ldots t_{\nu}} \right)\) Systeme \(w_{\varrho}',\; w_{\varrho}'',\ldots ,\; w_{\varrho}^{(m)}\) für \(\varrho =1,\; 2,\ldots ,\; m_{\nu}\), deren entsprechende \((w_{\varrho},\; z_{\alpha})\) für jedes \(\alpha\) derselben Gruppe \(G_{\alpha}\) angehören. Deutet man \((w,\; z_{\alpha})\) geometrisch als einen Punkt in der Ebene der complexen Grössen \(z_{\alpha}\), dann möge \(T_{\alpha}\) die Maximalentfernung zweier Punkte \((w,\; z_{\alpha})\) für die gegebenen \(m\) Systeme \(w\) darstellen. Es ist der absolute Wert \(|(w_{\varrho}-w_1,\; z_{\alpha})| \leqq T_{\alpha}\), und da \(\varrho =2,\; 3,\ldots ,\; m_{\nu}\) sein kann, so giebt es \[ m_{\nu}-1 \geqq E \left( \frac {m-1}{t_1\; t_2\ldots t_{\nu}} \right) \] Systeme \((c_{\varrho},\; z_{\alpha})=(w_{\varrho}-w_1,\; z_{\alpha})\), für welche \(|(c_{\varrho},\; z_{\alpha})| \leqq T_{\alpha}\) wird. Giebt man den \(|c_{\varrho}|\) die Werte \(1,\; 2,\ldots ,\; rt,\) dann folgt, dass mindestens \(E\left( \frac {r^nt^n-1}{t_1\; t_2\ldots t_{\nu}} \right)\) Ausdrücke \((c_{\varrho},\; z_{\alpha})\) bestehen, für welche gleichzeitig \[ |c_{\varrho}^{(k)}|<rt \quad \text{und} \quad |(c_{\varrho},\; z_{\alpha})|\leqq T_{\alpha} \] wird. Bedeuten die \(c^{(k)}\) beliebige ganze Zahlen, und ist für jedes von Null vorschiedene System der \(c\) \[ (\mu)\quad \varPi_{\alpha} |(c,\; z_{\alpha})|\geqq \mu \quad (\alpha =1,\; 2,\ldots ,\nu ), \] dann gelingt es durch die so eben erhaltenen Resultate untere und obere Grenzen für die Producte \[ \text{(I)}\quad \varPi_{\alpha} |(c,\; z_{\alpha})|,\quad \text{(II)}\quad \varPi_{\alpha} |(c_{\varrho},\; z_{\alpha})| \quad (\alpha =1,\; 2,\ldots ,\;\lambda\leqq\nu ;\; \varrho =1,\; 2,\ldots ,m_{\nu}) \] festzustellen. Hierdurch wird die Lösung der principiell wichtigen Aufgabe ermöglicht, ``rationale Zahlen \(\gamma'',\; \gamma''',\ldots ,\;\gamma ^{(n)}\) zu finden, welche die Gleichungen \[ z_{\alpha}'+\gamma ''z_{\alpha}''+\dotsm +\gamma^{(n)}z_{\alpha}^{(n)}=0 \quad (\alpha=1,\; 2,\ldots ,\; \lambda ) \] annähernd befriedigen''. Nimmt man das oben eingeführte \(t\) zum Maasse für \(t_1,\; t_2,\ldots ,\; t_{\nu},\) sowie für den Grad der Annäherung, dann folgt für diesen letzteren als Ordnung \(t^{-\frac n{\lambda}}\), und aus der Betrachtung der unteren Grenze als Ordnung der Maximalannäherung \(t^{-\frac {\nu}{\lambda}}\). Sind \(z_1,\; z_2,\ldots ,\; z_{\nu}\) Wurzeln einer irreductiblen Gleichung \(F(x)=0\) mit rationalen Coefficienten, dann ist die Bedingung \((\mu)\) erfüllt. Für \(z_{\alpha}^{(k)}=z_{\alpha}^{n-k}\) lässt sich eine angenäherte Reduction von \(F=0\) in der Weise durchführen, dass man eine Gleichung \(\varPhi (x)=0\) vom Grade \(n-1\) bestimmt, deren \(n-1\) Wurzeln ebenso vielen der Gleichung \(F=0\) annähernd gleich sind; die Ordnung der Annäherung wird \(t^{-\frac n{\lambda}}\). Setzt man \(n=\nu\), dann wird diese Ordnung zugleich die höchste überhaupt erreichbare. Für \(n=\nu =\lambda\) ergeben sich die auf complexe Einheiten bezüglichen Resultate. Man kann hier die Annäherung so durchführen, dass für jedes \(|(c_{\varrho},\; z_{\alpha})|\) die Ordnung \(t^{-\sigma_{\alpha}}\) willkürlich bestimmt ist. Daraus folgt, wenn wir mit \(h\) die Zahl der verschiedenen \(|z_{\alpha}|\) bezeichnen, dass es \((h-2)\) Ausdrücke \(|(c_{\varrho},\; z_{\alpha})|\) giebt, deren Grenzen in gewisser Weise von \(t\) unabhängig sind, und daraus: ``dass es in jeder Art algebraischer Zahlen unendlich viele Einheiten derart giebt, dass alle ihre Conjugirten bis auf zwei, den absoluten Werten nach, zwischen festen Grenzen sich befinden.'' Auf Grund von Entwickelungen, die Herr Kronecker in seiner Dissertation gegeben hat (De unitatibus complexis \(\S\S\) 10--12), lässt sich dann schliessen: 1) Es giebt eine endliche Zahl von Einheiten, von denen mehr als \((h-2)\) Conjugirte den absoluten Werten nach zwischen festen Grenzen sich befinden. 2) Es giebt unter diesen complexen Einheiten \((h-1)\), welche unabhängig sind (Dirichlet, 1846). 3) Unter den unabhängigen Systemen giebt es eine unendliche Anzahl von Fundamentalsystemen.