Gruppentheoretische Studien. II. Ueber die Zusammensetzung einer Gruppe directer Operationen, über ihre Primitivität und Transitivität. (Q1545018)

Hinsichtlich der Anschauungen des Herrn Verfassers über Substitutionen und Gruppen verweisen wir auf das Referat F. d. M. XIV. 1882. 97 (JFM 14.0097.01). Ist \(G=(1,s_2,s_3,\ldots ,s_r)\) eine Gruppe der Ordnung \(r\), so sind alle Transformirten \(s_i^{-1}s_{\alpha}s_i\; (i=1,2,\ldots ,r)\) mit \(s_{\alpha}\) gleichberechtigt; ist \(G'\) eine Untergruppe von \(G\), so sind alle \(s_i^{-1}G's_i\) mit \(G'\) gleichberechtigt. Falls jedes \(s_i^{-1}G's_i=G'\) ist, heisst \(G'\) eine ausgezeichnete Untergruppe. Alle mit einer Substitution \(s_{\alpha}\) gleichberechtigen bilden die erzeugenden Substitutionen einer kleinsten ausgezeichneten Untergruppe. Führen alle kleinsten ausgezeichneten Untergruppen auf \(G\) selbst zurück, dann heisst \(G\) einfach. Jede ausgezeichnete Untergruppe zerspaltet das die Gruppe \(G\) darstellende Polygonnetz (vgl. das oben erwähnte Referat) in Fundamentalsysteme, von denen ein beliebiges als der Einheit äquivalent angesehen werden kann. Um die ausgezeichneten Untergruppen von \(G\) aufzustellen, setzt man daher den Repräsentanten ein er Gruppe gleichberechtigter Substitutionen =1; diese neue Relation wird, zu den alten, welche \(G\) definiren, hinzugefügt, eine ausgezeichnete Untergruppe liefern, welche freilich auch \(G\) selbst werden kann. Es wird die Untersuchung über die Zusammensetzung der Oktaeder- und der Ikosaeder-Gruppe hiernach in einfachster Weise durchgeführt; die angegebene Methode führt überall da leicht zum Ziele, wo die definirenden Relationen bekannt sind. Im zweiten Teile der Arbeit wird die Primitivität von Gruppen besprochen. Ordnet man die Substitutionen beliebig \(1,s_2,s_3,\ldots ,r\) und schreibt darunter in neue Zeilen \(s_i,s_2s_i,s_3s_i,\ldots ,s_rs_i\; (i=1,2,\ldots ,r)\), dann stimmen die Zeilen bis auf ihre Anordnung überein. Die Uebergänge von der ersten zu den übrigen Zeilen können als Substitutionen gedeutet, und so kann die Gruppe \(G\) in regulärer Form als Gruppe \(\varGamma\) des Grades und der Ordnung \(r\) geschrieben werden. Beide Gruppen sind zueinander einstufig isomorph und daher den Anschauungen des Herrn Verfassers gemäss identisch. Ordnen wir jene Substitutionen der ersten Reihe so an, dass eine Untergruppe \(G'=(1,s_2,\ldots ,s_{\mu})\) heraustritt: \[ 1,s_2,s_3,\ldots ,s_{\mu}\; |t_2,s_2t_2,\ldots ,s_{\mu}t_2|\ldots |t_{\nu},s_2t_{\nu},\ldots ,s_{\mu}t_{\nu}\; (\mu\nu =r), \] dann ergiebt sich, dass \(\varGamma\) imprimitiv ist mit Bezug auf die Untergruppe \(G'\). (Dies ist also dasselbe Resultat, welches Herr G. Frattini auf anderm Wege gefunden hat; vgl. das zweitfolgende Referat.) Umgekehrt entspricht jeder imprimitiven Anordnung von \(\varGamma\) eine Untergruppe von \(G'\). Wenn man die einzelnen Systeme der eben aufgestellten Zeile mit \(\tau_1,\;\tau_2,\ldots ,\;\tau_{\nu}\) bezeichnet, dann giebt deren Vertauschung Veranlassung zur Bildung einer Gruppe \(T\), welche aber nur dann einstufig isomorph zu \(G\) wird, wenn \(G'\) keine ausgezeichnete Untergruppe von \(G\) enthält. Es kann auch die Frage nach der Primitivität von \(T\) entschieden werden: Nur wenn \(G'\) eine Maximaluntergruppe von \(G\) ist, wird \(T\) primitiv. Ebenso lassen sich alle Gruppen bestimmen, welche niemals, und diejenigen, welche nur in der regulären Form imprimitiv geschrieben werden können. Die Oktaeder- und die Ikosaeder-Gruppe liefern wieder einfache Beispiele für die durchgeführten Untersuchungen.