Sur les nombres de fractions ordinaires inégales qu'on peut exprimer en se servant de chiffres qui n'excèdent pas un nombre donné. (Q1545071)

Herr Airy hat im Phil. Mag. 1881. p. 175 die Zahl der Brüche \(\frac{m}{n}\), in denen \(m\) und \(n\) relative Primzahlen und \(\leqq 100\) sind, gleich 3043 angegeben. Hierdurch veranlasst leitet der Herr Verfasser folgendes asymptotische Gesetz her: Ist \(J(x)\) die Summe der Totienten aller Zahlen, welche nicht grösser sind, als die grösste in \(x\) enthaltene ganze Zahl, unter Totient einer ganzen Zahl \(i\) die Function \(\varphi (i)\) verstanden, so nähert sich \(\frac{J(x)}{x^2}\) für hinreichend grosse \(x\) mit beliebiger Genauigkeit der Zahl \(\frac{3}{\pi^2}=\) 0,30396\dots (cf. Dirichlet, Mertens u. A.). Als Zusatz folgt hieraus: die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Zahlen mit gegebenen oberen Grenzen relative Primzahlen sind, hat den asymptotischen Wert \(\frac{6}{\pi^2}\) (cf. Césaro Math. I. 99ff, F. d. M. XIII. 1881. 160 (JFM 13.0160.03); ferner Césaro in J. Hopkins circ. II. 85, vgl. das folgende Referat (JFM 15.0132.02)).In Veranlassung einer bei dem Beweise des obigen Satzes benutzten Functionalgleichung giebt dann der Verfasser noch eine Reihe von unendlich vielen solchen Gleichungen an, die ebenfalls zur Bestimmung asymptotischer Werte von \(J(x)\) dienen können.