A theorem in partitions. (Q1545076)

Der Herr Verfasser versteht unter einer ``Wiederholung (repetition) von \(r\)'' eine Wiederholung, in welcher derselbe Teil \(r\)-mal vorkommt. So ist \(2+2+2\) eine Wiederholung von 3. Wenn die Teile einer Teilung nach ihrer Grösse geordnet sind, so sagt er, sie enthalte ein ``Lücke'' (break), wenn die Differenz zwischen zwei auf einander folgenden Teilen (0 als Teil mitgerechnet) \(r\) erreicht. So enthält \(2+2+5\) eine Lücke von 3,\(4+5\) eine von 4. Nach Aufstellung dieser Definitionen beweist nun der Verfasser auf mehrere Arten, dass die Zahlen der Teilungen einer Zahl \(n\), welche enthalten 1) eine Wiederholung von wenigstens \(r\); 2) einen Teil gleich \(r\) oder einem Vielfachen von \(r\); 3) eine Lücke gleich \(r\), sämtlich einander gleich sind. Der zweite Teil der Arbeit bezieht sich auf Sätze anderer Art, wie z. B.: Wenn \(P(n)\) die Gesamtzahl der Teilungen von \(n\) bezeichnet und \(Q(n)\) die Zahl der Teilungen von \(n\) ohne Wiederholungen, so ist \[ \begin{aligned} & P(n)-P(n-2)-P(n-4)+P(n-10)+\cdots\;=\;Q(n),\\ & Q(n)-Q(n-1)-Q(n-2)+Q(n-5)+\cdots\;=\;0\;\text{oder}\;(-1)^{m},\end{aligned} \] je nachdem \(n\) von der Form \(3m^2\pm m\) ist, oder nicht, wobei \(P(0)\) und \(Q(0) = 1\) vorausgesetzt werden.