Sur l'approximation des sommes de fonctions numériques. (Q1545094)

Es wird eine neue Methode angegeben zur Auswertung der Summen von zahlentheoretischen Functionen. Es sei \(\lambda\) eine solche und \[ f(z)\;=\;\frac{\lambda (1)}{1^z}+\frac{\lambda (2)}{2^z}+\frac{\lambda (3)}{3^z}+\cdots +\frac{\lambda(n)}{n^z}+\cdots , \] ferner \(A\) eine Linie, die innerhalb des Convergenzgebiets dieser Reihe liegt, den Nullpunkt nicht umschliesst, und deren Endpunkte \(a+i\infty\) und \(a'+i\infty\) sind, wo \(a,a'\) positive Grössen seien. Es werde ferner unter \(F(x)\) das Integral verstanden \[ \frac{1}{2\pi i}\int_{A}\frac{x^z}{z}f(z)dz, \] worin \(x\) eine reelle positive Grösse ist, zu dessen Betrachtung der Verfasser durch das Studium der Riemann'schen Abhandlung über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse (Berl. Monatsber. November 1859; Werke p. 136) veranlasst worden ist, und welches Herr Kronecker (Berl. Monatsbr. 1878 p. 53 ff. cf. F. d. M. X. 1878. 183 f., JFM 10.0183.01) zu anderem Zwecke behandelt hat. Dann ist \[ F(x) = \lambda (1)+\lambda (2)+\cdots +\lambda (n), \] wo \(n\) die grösste in \(x\) enthaltene ganze Zahl ist. In dem Falle nun, dass die Reihe für \(f(z)\) nur für solche Werte convergirt, deren reeller Teil eine gewisse Grösse \(l\) überschreitet, die positiv ist, kann das Integral \(F(x)\) in gewissen Fällen dazu dienen, einen asymptotischen Ausdruck für \(\lambda (1)+\lambda (2)+\cdots +\lambda (n)\) zu finden. In Bezug auf die Charakterisirung dieser Fälle sei auf die Note selbst verwiesen, die schliesslich auf den speciellen Fall näher eingeht, dass \(\lambda(n)\) die Anzahl der relativen Primzahlen zu \(n\), die \(<n\) sind, bedeutet. Andere Anwendungen der gegebenen Methode sollen folgen.