Ueber Relationen zwischen Klassenzahlen binärer quadratischer Formen von negativer Determinante. (Q1545125)

Vgl. das Referat F. d. M. XII. 1880. 141-143 (JFM 12.0141.01), welches sich auf frühere Arbeiten des Verfassers über dasselbe Thema bezieht. Eine Modulfunction \(J(\omega )\) hat die charakteristische Eigenschaft, für alle ganzzahligen Substitutionen \(\omega_1 =\frac{\alpha\omega +\beta}{\gamma\omega +\delta}\) der Determinante 1 ungeändert zu bleiben; \(\omega\) und \(\omega_1\) heissen dabei ``aequivalente'' Grössen. Die Transformation \(n^{\text{ter}}\) Ordnung wird durch \(\omega' = \frac{a\omega +b}{c\omega + d}\) mit \(ad-bc=n\) definirt; es giebt nur eine endliche Zahl zu \(\omega\) nicht aequivalenter Werte \(\omega'\). Es besteht zwischen \(J(\omega ) =J\) und \(J(\omega') =J'\) eine algebraische Gleichung, welche auf nur bei \(\omega= \frac{a\omega +b}{c\omega +d}\), d. h. \(c\omega^2+(d-a)\omega -b = 0\) möglich, und es wird also dabei für \(J= J'\) der Wert \(\omega\) der Verschwindungspunkt einer quadratischen Form von negativer Determinante \((a+d)^2-4n\). Zwischen den einfachen, endlichen Punkten \(J' = J\) und den Klassen der quadratischen Formen aller negativen Determinanten \(D= k^2-4n\) findet ein eindeutig umkehrbares Entsprechen statt, wenn jede Formenklasse \((P,Q,R)\), deren Coefficienten mit \(n\) einen gemeinsamen Teiler haben, ausgeschlossen ist, und wenn jede Klasse \((\varrho ,0,\varrho )\) als \(\frac 12,\) jede \((\varrho ,\varrho ,\varrho )\) als \(\frac 13\) und jede andere als 1 gezählt wird. Andrerseits ist die Zahl der Verschwindungspunkte gleich derjenigen der Unendlichkeitspunkte von \(J'-J\). Diese letzteren lassen sich aus der Kenntnis der Function \(J\) heraus ermitteln, und somit erhält man eine Relation der gewünschten Art. Die Gruppe der Substitutionen, für welche \(\alpha :\beta :\gamma :\delta =1:0:0:1\) (mod.\(q\)) ist, wobei \(q\) eine Primzahl bedeutet, ist eine ausgezeichnete Untergruppe und zwar die einzig mögliche der Gruppe von \(J\); sie heisst ``von \(q{\text{ter}}\) Stufe''. Wie \(J\) zur allgemeinen Gruppe, so gehört zu dieser auch ein System \(M_1:M_2:M_3:\dots: M_{\nu +1}\) von Moduln, welches dann und nur dann ungeändert bleibt, wenn auf \(\omega\) eine Substitution der ausgezeichneten Gruppe \(a^{\text{ter}}\) Stufe angewendet wird. Untersucht man in ähnlicher Weise wie oben die Werte \(\omega'\), für welche \(M_1':M_2':\cdots= M_1:M_2:\cdots\) wird, so erhält man wiederum Beziehungen zwischen diesen ``Coincidenzpunkten'' und den quadratischen Formenklassen von negativer Determinante; diese Beziehungen liefern die linken Seiten der Klassenzahlrelationen ``der \(q^{\text{ter}}\) Stufe''. Die rechten Seiten lassen sich, falls die zu Grunde liegende Congruenzgruppe das Geschlecht Null hat, ebenfalls bestimmen, indem man das Chasles'sche Correspondenzprinzip anwendet. Für die dritte und die fünfte Stufe werden die fertigen Formeln gegeben. In der zweiten Abhandlung wird gezeigt, dass, wenn man statt der ausgezeichneten Untergruppe der \(q^{\text{ten}}\) Stufe eine beliebige ander verwendet, die neuen Relationen nur lineare Combinationen der früheren werden können. Die rechten Seiten können auch hier auf dem Kronecker'schen Wege gebildet werden, soweit das Geschlecht \(p= 0\) ist. Diese Fälle hatte der Verfasser in einer voraufgehenden Abhandlung (über Congruenzgruppen von Primzahlstufe) untersucht, so dass er jetzt die Klassenzahlrelationen für die Stufen 7,11,13 geben kann.