Sur la réduction des formes quadratiques positives ternaires. (Q1545129)

Die Resultate, zu denen Charve (cf. F. d. M. XIV. 1882. 145, JFM 14.0145.01) bei der Reduction der quadratischen positiven quaternären Formen gelangt war, haben den Herrn Verfasser veranlasst, seine eigentümlichen Beobachtungen über die bez. ternären Formen \(f\) zu publiciren. Bei ihm basirt die Reduction der quadratischen Formen auf folgenden Sätzen. 1) ``Eine quadratische positive Form \(f = a_x^2\) mit der Determinante \(d\) erhält nur für eine endliche Anzahl von numerischen Wertsystemen \((x_i)\) einen Wert, der eine gegebenen positive Grösse \(\varepsilon\) nicht überschreitet.'' Daran schliesst sich die Definition: Eine Form \(c_x^2\) steht neben resp. über (unter) einer anderen Form \(a_x^2\), jenachdem die Coefficienten \(c_{ii}\) und \(a_{ii}\) gleich resp. ungleich sind, und im letzteren Fall das erste \(c_{ii}\), welches nicht gleich \(a_{ii}\), grösser (kleiner) ist. Dann kann man die irgend einer Klasse von Formen \(f\) angehörige reducirte Form \(\varphi =\alpha_{\xi}^{2}\) (nur ausnahmsweise existiren mehrere) dahin definiren, dass sie unter allen übrigen Formen der d. h. nach einer endlichen Anzahl von Substitutionen. 2) Für \(n\leqq 4\) ist eine Form \(\varphi\) dann und nur dann reducirt, wenn den Ungleichheiten genügt \[ \text{(I)} \quad\alpha_{11}\leqq\alpha_{22}\leqq\cdots\leqq\alpha_{nn}, \] \[ \text{(II)}\quad\varphi (\varepsilon_{1},\varepsilon_{2},\dots\varepsilon_{n}\geqq\alpha_{ii}\quad (\varepsilon_{i}\;=\;\pm 1,\;\varepsilon_{n}\;=\;0,\pm 1). \] Es wird dies vollständig bewiesen.