On Bernoulli numbers (remarks on the paper of Worpitzky) (Q1545236)

Herr Worpitzky (JFM 15.0201.01) unterwirft die Theorie der Bernoulli'schen und Euler'schen Zahlen einer zusammenhängenden Bearbeitung nach der Seite hin, welche eine independente Darstellung dieser Zahlen bezweckt, d. h. die Aufstellung von Ausdrücken, welche jene Zahlen vermittelst der vier Species völlig darstellen, ohne hinterher noch die Auflösung von Gleichungen oder Determinanten zu erfordern. Die hauptsächlichen, für diesen Teil der Theorie gemachten Literaturangaben seien hier wiederholt: Lacroix, Traité des différences; Paris 1800. p. 106 (Laplace's Formel); Grunert, Mathematische Abhandlungen, Altona 1822. S. 69-93 und in Klügel's Wörterbuch IV. S. 608; Scherk, Crelle J. IV. S. 299-304 und Math. Abh. Berlin 1825; Schlömilch, Crelle J. XXXII. S. 360, 1846; Eisenlohr, Crelle J. XXVIII. S. 193-212, 1844; Raabe, Die Jacob Bernoulli'sche Function Zürich 1848 und Crelle J. XLII. S. 348-376, 1851; Schlömilch, Z. f. Math. und Phys. I. S. 193. Die von den beiden letztgenannten Autoren eingeführte, resp. weiter behandelte Bernoulli'sche Function, d. h. diejenige einfachste algebraische Function, welche für ganze positive Argumente in eine Summe gleich hoher Potenzen der ganzen Zahlen nach ihrer natürlichen Folge übergeht und für ein verschwindendes Argument selbst verschwindet, in mehreren verschiedenen Formen darzustellen, bildet den Ausgangspunkt der vorliegenden Arbeit. Während die Raabe'sche Form der Bernoulli'schen Function \[ {\mathfrak B}(x,n)= x^n- \tfrac12\, n\cdot x^{n-1}+\binom{n}{2}\cdot B_1\cdot x^{n-2}= \binom{n}{4}\cdot B_2\cdot x^{n-3}+\binom{n}{6} \cdot B_3\cdot x^{n-6}-\cdots \tag{1} \] hauptsächlich der Anwendung des binomischen Satzes ihre Entstehung verdankt, gelangt man auf ebenfalls ganz elementarem Wege zu Darstellungen dieser Function, indem man \(x^n\) als Aggregat solcher algebraischen Functionen ausdrückt, deren jede eine leicht zu summirende Reihe liefert, wenn man \(x\) die Werte \(x, x+1, x+2, x+3, \dots\) durchlaufen lässt. Von derartigen Ausdrücken werden näher betrachtet: \[ x^n= \sum_{i=1}^n \overset {n}\alpha_i \binom{x+i-1}{n} \quad\text{and}\quad x^n= \sum_{i=1}^n \overset {n}{\alpha_i} \binom{x}{i}, \] worin in einfacher Weise \[ \overset {n}{\alpha_r}= \sum_{i=1}^r (-1)^{i-1} \binom{n+1}{i-1} (r-i+1)^n, \quad \overset {n}{\alpha_r}= \sum_{i=1}^r (-1)^{i-1} \binom{r}{i-1} (r-i+1)^n \] bestimmt werden, und welche eine zweite und dritte Form der Bernoulli'schen Function liefern: \[ (2)\quad {\mathfrak B}(x,n)= n\;\sum_{i=1}^{n-1}\, \overset {n-1}{\alpha_i} \binom{x+i-1}{n}, \qquad (3)\quad {\mathfrak B}(x,n)= n\;\sum_{i=1}^{n-1}\, \overset {n-1}{\alpha_i} \binom{x}{i+1}. \] Ausserdem werden noch zwei andere Formen abgeleitet, und es wird bemerkt, dass sich diese Darstellungen noch beliebig vermehren lassen. Schliesslich wird die wichtige Schlömilch'sche Form \[ {\mathfrak B}(x,n)= n. \underset{z=0} D^{n-1} \frac{e^{xz}-1}{e^z-1}= \underset{z=0} D^n\;z\cdot \frac{e^{xz}-1}{e^z-1} \] aus der Darstellung \(x^n= \underset{z=0} D^n e^{xz}\) gewonnen, und es werden dann aus dieser mehrere der früheren Formen nochmals hergeleitet. Bei dieser Gelegenheit ergeben sich Formeln, wie \[ \overset {n}{\alpha_r}= \mathop{D^n}_{z=0} (e^z-1)^r, \quad B_r= (-1)^{r-1} \underset {z=0} D^{2r} \frac{z}{e^z-1}, \] welche letztere zu der independenten Darstellung \[ B_r= (-1)^r \Biggl\{ \frac12\;\overset{2r} {a_1}- \frac13\;\overset{2r} {a_2}+ \frac14\;\overset{2r} {a_3}-\cdots- \frac{1}{2r+1}\;\overset{2r} {a_{2r}} \Biggr\} \] u. a. führt; gleichzeitig werden durch mehrfache Differentiation der Identitäten \[ \frac{z}{e^z-1} \;(e^z-1)=z, \quad \frac{2z}{e^{2z}-1}\;(e^z+1)-2\;\frac{z}{e^z-1}=0 \] und allgemeiner \[ \frac{kz}{e^{kz}-1}\;\{e^{(k-1)z}+ e^{(k-2)z}+\cdots+ 1\}-k\cdot \frac{z}{e^z-1}=0 \] eine Menge von Recursionsformeln für die Bernoulli'schen Zahlen gewonnen. Das hauptsächliche Hülfsmittel aber, dessen sich der Verfasser bedient, um zu independenten Darstellungen (und nebenher auch zu Recursionsformeln) für die Bernoulli'schen und Euler'schen Zahlen zu gelangen, besteht in der Verwendung von gewissen Specialwerten der Bernoulli'schen Functionen und ihrer Derivirten, hauptsächlich \({\mathfrak B}'(0,n)\), \({\mathfrak B}(\frac12,n)\), \({\mathfrak B}(\frac14,n)\). Hiernach folgt zunächst eine übersichtliche Formelzusammenstellung, aus der der gegenseitige Zusammenhang zwischen diesen Specialwerten, den in Rede stehenden Zahlen und den Derivirten von Exponentialfunctionen ersichtlich wird, und im Anschluss hieran die Darstellung der Bernoulli'schen und der Euler'schen Zahlen \[ u_{2r}= \mathop{D}_{z=0}{}^{2r-1} \text{\,tg\,} z, \quad u_{2r+1}= \mathop{D^{2r}}_{z=0} \text{sec\,}z \] als Derivirte von Kreisfunctionen. Und nun wird eingehend gezeigt, wie diese Relationen mit den verschiedenen Darstellungsweisen von \({\mathfrak B}(x,n)\) combinirt eine ergiebige Quelle von Gewinnung teils bekannter, teils neuer Ausdrücke der gewünschten Art für die Bernoulli'schen und Euler'schen Zahlen liefern. Für die hierbei gewonnenen Resultate sei bei dem Reichtum an Formeln auf die Arbeit selbst verwiesen. In einem Schlussparagraphen wird auf Grund einer dieser Formeln und , da \(u_{2r}\) eine ganze Zahl ist, der interessante Satz hergeleitet: Die Zahl \[ v_r= 2(2^{2r}-1)\cdot B_r= \frac{r.u_{2r}}{2^{2r-2}} \] ist ganz, ungerade und durch jeden ungeraden Teiler von \(r\) teilbar; die Zahl \(u_{2r}\) ist durch die \((2r-2-n)^{\text{te}}\) Potenz von 2, aber durch keine höhere teilbar, wenn \(2^n\) die höchste Potenz von 2 bedeutet, welche in \(r\) aufgeht. Die Zahlen \(u_{2r+1}\) sind sämtlich ungerade. Herr Kronecker bemerkt in der zweiten der oben genannten Abhandlungen, dass man, wie er es in seinen Vorlesungen öfters gethan habe, mit Hülfe der Lagrange'schen Interpolationsformel in sehr eleganter Weise zur Darstellung der Bernoulli'schen Function gelangt, und zeigt auf mehrfache Weise, dass die Zahlen \(2^{2r-1} (2^r-1)B_r\) (s. o.) ganze Vielfache von \(r\) sind.