Remarque sur le calcul d'une intégrale définie. (Q1545273)

In ähnlicher Weise wie Gourier das Integral \(\int F(x)dx\) von \(-\infty\) bis \(+\infty\) approximativ darstellt, kann man für die Grenzen 0 bis \(\infty\) die Form anwenden \[ \int_0^\infty \varphi(x)e^{-x}dx=A\varphi(a)+B\varphi(b)+\cdots, \] wo \(a, b. \dots\) die Wurzeln der Gleichung \[ F(x)=e^x\frac{d^n}{dx^n}(x^ne^{-x})=0 \] sind. Ueberdies hat man, einen Factor ungerechnet: \[ F(x) = \sum_{k=0}^{k=n} (-1)^k \frac{n^2(n-1)^2\dots (n-k+1)^2}{k!} x^{n-k} \] oder \[ =1-nx+\frac{n(n-1)}{1.4}x^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{1.4.9} x^3+\cdots \] und zwar sind die Coefficienten \(A,B,\dots\) \[ A=\frac{1}{F'(a)} EF(a) \sum_{k=0} \frac{k!}{a^{k+1}}, \] wo E die ganze Function im folgenden Product bezeichnet. Der Beweis ist in Resal Journal 1880 gegeben worden.