On some linear differential equations of fourth order (Q1545329)

Herr Goursat hat in einer Note in den C. R. XCVII. p. 31 (Siehe das vorhergehende Referat, JFM 15.0265.02) die linearen Differentialgleichungen vierter Ordnung, deren Integrale durch eine quadratische Relation mit einander verbunden sind, auf die zweite Ordnung reducirt. Der Verfasser bewirkt diese Reduction durch die Betrachtung der Raumcurve als des Orts der Punkte, deren vier homogene Coordinaten \(y_1,y_2,y_3,y_4\) als Functionen der unabhängigen Variablen \(x\) angesehen, die vier Integrale der Differentialgleichung vierter Ordnung darstellen. Die Invarianten der letzteren Gleichung sind identisch mit den Invarianten der Raumcurve, die der Verfasser in der Abhandlung ``Sur les invariants différentiels des courbes gauches (Journ. de l'Ée. Polyt. XLVII\(^e\) Cahier) untersucht hat. Mit Hülfe derselben werden die Bedingungen für die vier Fälle ausgedruckt, in denen eine quadratische Relation zwischen den Integralen stattfindet, also die in Rede stehende Reduction möglich ist: 1) die Curve liegt auf einem Hyperboloid; 2) auf einem Kegel zweiten Grades; 3) die Curve ist biquadratisch; 4) sie zerfällt in eine Raumcurve dritten Grades und eine Gerade.