On deriving singular solutions of a system of ordinary differential equations from the differential equations itself (Q1545350)

Das System der Differentialgleichungen wird in der Form \[ (1)\quad F_i(x,x_1,\dots, x_n,x_1',\dots, x_n')=0 \quad (i=1,2,\dots,n) \] betrachtet, worin \(x\) die unabhängige, \(x_1\dots x_n\). die abhängigen Variablen sind und die Voraussetzung gemacht ist, dass die Gleichungen (1) für die Unbekannten \(x_1',\dots,x_n'\) keine vielfachen Wurzeln zulassen, und dass überdies bei unbestimmtem \(x\) die ersten partiellen Derivirten der Functionen \(F_i\) bestimmt und endlich bleiben für alle bestimmten endlichen Werte von \(x_1,\dots, x_n,x_1',\dots, x_n'\). Als notwendiges Kriterium der singulären Lösungen erscheint zunächst in Uebereinstimmung mit dem Lagrange'schen Resultate das wenigstens teilweise Unbestimmtwerden der zweiten Differentialquotienten, wie sie sich direct aus den ersten Ableitungen der Gleichungen (1) ergeben. Der analytische Ausdruck hierfür bei der gewählten Form (1) der Differentialgleichungen ist die Bedingungsgleichuug \[ (2)\quad \varDelta \equiv \varSigma \pm F_1'(x_1') F_2'(x_2')\dots F_n'(x_n')=0, \] wo \[ F_k'(x_\lambda')=\frac{\partial F_k}{\partial x_\lambda'}, \] so dass jedes System singulärer Lösungen die \(n+1\) Gleichungen (1) und (2) gemeinsam zu erfüllen hat. Eine weitere Folge ist alsdann die Erfüllung der \(n\) Gleichungen \[ (3) \quad \sum_{i=1}^{i=n} \frac{\partial \varDelta}{\partial F_i'(x_k')} [F_i'(x) + \sum_{h=1}^{h=n} x_h'F_i'(x_h)]=0 \quad (k=1,2,\dots,n). \] Nur wenn die Gleichungen (3) Identitäten oder algebraische Folgen der Gleichungen (1) und (2) sind, können singuläre Lösungen mit \(n-1\) willkürlichen Constanten existiren. Bestimmt man aus den Gleichungen (1) und (2) die Derivirten \(x_1',\dots,x_n'\) und eine der Functionen selbst, z. B.: \(x_n\) durch \(x\) und die übrigen Functionen \(x_1,\dots,x_{n-1}\) derart, dass \[ x_1'=Y_1(x,x_1,\dots,x_{n-1}),\;\; x_2'=Y_2,\dots,x_n'=Y_n,\;\; x_n=Z(x,x_1,\dots,x_{n-1}), \] so muss die Gleichung \[ (4)\quad \frac{\partial Z}{\partial x} + \sum_{h=1}^{h=n-1} Y_h \frac{\partial Z}{\partial x_h} = Y_n \] eine Identität werden, und die Integration des Systems von \(n-1\) Differentialgleichungen \[ x_1'=Y_1,\;\; x_2'=Y_2,\dots,x_{n-1}'=Y_{n-1} \] liefert in Verbindung mit \(x_n = Z\) ein im allgemeinen singuläres System mit \(n - 1\) willkürlichen Constanten. Die Forderung der Identität (4) wird noch auf verschiedene Formen gebracht. Im zweiten Paragraphen werden die gewonnenen Sätze an einigen einfachen Beispielen erläutert. Im dritten Paragraphen werden die im \(\S\) 1 erhaltenen Resultate auf die Differentialgleichung \(n^{\text ter}\) Ordnung zwischen zwei Variablen angewandt, und für diesen speciellen Fall noch auf einem neuen Wege abgeleitet. Ist die Differentialgleichung in der Form \[ y=\psi(x,y',\dots,y^{(n)}) \] gegeben, so ist jede singuläre Lösung derselben eine gemeinsame Lösung der beiden Gleichungen \[ y=\psi,\quad \psi'(y^{(n)})=0. \] Dieselbe genügt zugleich auch der Gleichung \[ y'=\psi'(y)+y''\psi'(y')+ \cdots + y^{(n)} \psi'(y^{(n-1)}). \] Soll im besondern die Lösung \(n-1\) willkürliche Constanten enthalten, so muss es einen Werth \[ y^{(n)}=X(x,y',\dots,y^{(n-1)}) \] geben, der die vorstehende Gleichung und \(\psi'(y^{(n)})=0\) gleichzeitig erfüllt. Die vollständige Lösung der Differentialgleichung \[ y=\psi(x,y',\dots,y^{(n-1)},X) \] ist dann die im allgemeinen singuläre Lösung mit \(n -1\) willkürlichen Constanten.