Series developments of holomorphic functions in an area bounded by circular arcs. (Q1545394)

Eine Fläche \(S\) sei von \(n\) Kreisbögen \(C_1,\dots,C_n\) begrenzt, deren convexe Seite dem Innern der Fläche zugekehrt ist und welche die Punkte \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\) zu Mittelpunkten haben. Um eine in \(S\) holomorphe Function \(f(x)\) darzustellen, wird eine überall eindeutige Function \(\Psi(x)\) angenommen von folgenden Eigenschaften: Sie hat den Unendlichkeispunkt als einzigen wesentlich singulären Punkt, ausserdem nur Pole ersten Grades in unendlicher Anzahl und zwar in \(x=0, a_1, a_2,\dots,a_\nu,\dots(\lim a_\nu=\infty\) für \(\nu=\infty\) mit den resp. Residuen \(1,R_1,R_2,\dots,R_\nu,\dots;\) für jeden in \(S\) gelegenen Punkt \(x\) sollen ferner alle Punkte \(x+a_1,x+a_2,\dots,x+a_\nu,\dots\) ausserhalb \(S\) und ausserhalb der Kreise liegen, degen die Kreisbögen \(C_1,\dots,C_n\) angehören. Es gilt dann für \(f(x)\) die Darstellung \[ (1) \quad f(x)=\sum^{k=n}_{k=1} \sum^{\mu=\infty}_{\mu=0} A^{k}_{\mu} \Psi^{(\mu)} (\alpha_k-x),\quad(\Psi^{(\mu)}(u)=\frac{d^{\mu}\Psi(u)}{du^{\mu}}), \] wo \[ A^{k}_{\mu}=\frac{1}{2\pi i}\;\frac{1}{1.2.3\dots\mu} \int_{C_k}(z-\alpha_k)^{\mu}f(z)dz, \] das Integral über den Bogen \(C_k\) genommen. Es erhellt leicht, dass die Summe \(A^{1}_{0}+A^{2}_{0}+\cdots+A^{n}_{0} \) verschwindet. Was den Wert der Reihe auf der rechten Seite in (1) für Punkte \(x\) betrifft, die ausserhalb \(S\) sich befinden, so sind folgende Fälle zu unterscheiden : Liegen gleichzeitig alle Punkte \(x+a_1,x+a_2,\dots,x+a_\nu,\dots\) ausserhalb \(S\) und ausserhalb der Kreise, denen die Bogen \(C_k\) angehören, dann hat die Reihe den Wert Null; liegen die genannten Punkte sämtlich zwar noch ausserhalb der Kreise, aber einige derselben \(x+a_{\lambda_1},\dots,x+a_{\lambda_m}\) innerhalb \(S\), so ist der Wert der Reihe \[ R_{\lambda_1}f(x+a_1)+\cdots+R_{\lambda_m}f(x+a_{\lambda_m}); \] liegt endlich \(x\) selbst oder einer der Punkte \[ x+a_1, x+a_2,\dots x+a_\nu,\dots \] im Innern eines der genannten Kreise, so ist die Reihe divergent. Bedeutet \(S_\nu\) di Fläche, die der Punkt \(x-a_\nu\) beschreibt, während \(x\) die Fläche \(S\) beschreibt, so wird dieselbe wiederum von Kreisbögen begrenzt, die mit \(C^{\nu}_1,\dots,C^{\nu}_n \) bezeichnet sein mögen. Sind nun die Pole \(a_v\) so verteilt, dass keine der Flächen \(S,S_1,S_2,\dots,S_\nu,\dots\) einen Punkt mit einander oder mit den Kreisen gemein hat, denen die Bogen \[ C_k,C^{1}_{k},\dots,C^{\nu}_{k},\dots\qquad \qquad \qquad (k=1,2,\dots,n) \] angehören, so besteht für die Reihe in (1), die wir mit \(\varphi(x)\) bezeichnen, die merkwürdige Beziehung \[ \varphi(x-a_\nu)=R_\nu \varphi(x). \] Nachdem noch die speciellen Fälle betrachtet sind, in denen \(\psi(x)\) der Reihe nach gleich \[ \frac{1}{x},\;\frac{d\log \vartheta_1(x)}{dx},\;\frac{\omega}{\pi} \cot\frac{\pi x}{\omega} \] gesetzt wird, folgt zum Schluss die Ermittelung einer oberen Grenze für den Rest der Reihe \(\varphi(x)\).