Beweis einer Jacobi'schen Formel. (Q1545499)

Die Jacobi'sche Formel (Crelle J. XV.) lautet: \[ (1)\quad \int_0^\pi f(\cos{}x)\cos{}(nx) dx =\frac{1}{1.3.5\dots(2n-1)} \int_0^\pi f^{(n)}(\cos{}x)\sin{}^{2n}x dx. \] Da für das links stehende Integral die Gleichung \[ \int_0^\pi f(\cos{}x)\cos{}(n+1)x dx+\int_0^\pi f(\cos{}x)\cos{}(n-1)x dx -2\int_0^\pi \cos{}x f (\cos x)\cos(nx) dx=0 \] besteht, so folgt die Richtigkeit von (1), sobald gezeigt wird, dass \[ (2)\quad \int_0^\pi f^{(n+1)}(\cos{}x)\sin{}^{2n+2}x\, dx+(4n^2-1) \int_0^\pi f^{(n-1)}(\cos{}x)\sin{}^{2n-2}x\,dx \] \[ -2(2n+1)\int_0^\pi [\cos{}xf^{(n)}(\cos{}x)+nf^{(n-1)}(\cos{}x)] \sin{}^{2n}x \,dx=0 \] ist. Letzteres aber folgt leicht, da das Aggregat der drei Integrale auf der linken Seite von (2) sich auf die Form bringen lässt \[ \int_0^\pi\frac{d}{dx}\{(2n+1)f^{(n-1)}(\cos{}x)\sin{}^{2n-1}x\cos{}x-f^{(n)}(\cos{}x)\sin{}^{2n+1}x\}.dx. \]