On multipliers of linear differential equations. (Q1545530)

In einer früheren Mitteilung (C. R. XCVII. 1408 und 1541, siehe F. d. M. XV. 1883. p. 259, JFM 15.0259.01) hatte der Verfasser gezeigt, wie man mit Hülfe homogener Multiplicatoren eine lineare Differentlaigleichung dritter Ordnung integriren kann, wenn ein homogenes Polynom der Lösungen dritten Grades mit constanten Coefficienten eine bekannte Function der unabhängigen Variablen ist. In dieser Note werden die expliciten Formeln gegeben, die dieses Problem auflösen, und mit Hülfe derselben die Gleichung \[ (1)\quad fy'''+\tfrac 32\,f'y''+\tfrac 49\,f''y'-\tfrac{1}{81}f'''y=0, \] wo \(f\) ein Polynom dritten Grades bedeutet, integrirt. Ist \[ f=a_0x^3+3a_1x^2+3a_2x+a_3, \] so bestimme man eine Constante \(\lambda\) durch die Gleichung \[ a_0\lambda^4+4a_a\lambda^3+6a_2\lambda^2+4a_3\lambda+\frac{4a_1a_3-3a_2^2}{a_0}=0 \] die Lösungen der Gleichung (1) sind dann durch die Gleichung \[ y^9-6y^6+\left(9\frac{a_0x+a_1}{a_0\lambda+a_1}+3\right)y^3+\frac{3a_0f'(\lambda)}{(a_0\lambda+a_1)^2}-8=0 \] gegeben.