On establishing the criteria for maxima and minima of simple integrals with variable bounds. (Q1545598)

Das Problem des Maximums oder Minimums einfacher Integrale, welche eine oder mehrere unbekannte Functionen und ihre ersten Differentialquotienten enthalten, sind für den Fall variabler Grenzwerte über die erste Variation hinaus bisher nur wenig verfolgt worden. Ausser einer Königsberger Vorlesung von Jacobi weiss der Verfasser als auf derartige Probleme eingehend nur eine Abhandlung von Lundström (Ups. N. Act. (3) VII. 1-39. 1870; cf. F. d. M. II. 1870. 185, JFM 02.0185.01) und eine solche von G. Erdmann (Schlömilch Z. XXIII. 362-379, cf. F. d. M. X. 1878. p.268 ff., JFM 10.0268.01) anzuführen. Im Gegensatz zu den letztgenannten Autoren, die das Problem ungeteilt anzugreifen für klarer erachten, zieht es der Verfasser vorliegender Abhandlung vor, dasselbe nach derjenigen Methode zu behandeln, welche die Aufgabe in zwei nach einander zu behandelnde Teile zerlegt, von denen nur der erste, das Hauptproblem, welcher die Grenzwerte der Veränderlichen sämtlich als vorläufig gegeben ansieht, der eigentlichen Variationsrechnung angehört, während der zweite sich auf eine blosse Aufgabe des gewöhnlichen Maximums und Minimums reducirt; und zwar aus dem Grunde, weil gerade diese letztere Aufgabe an und für sich und wegen der eigentümlichen Schwierigkeiten, welche sich, wie er zeigt, in sehr einfacher Weise heben lassen, von Interesse ist. Bekanntlich reducirt sich das Hauptproblem auf die Integration eines Systems von Differentialgleichungen mit den gesuchten Functionen als abhängigen Variabeln; hat man dasselbe integrirt, so hätte man noch die Integrationsconstanten durch die vorläufig als gegeben angesehenen Grenzwerte der unabhängigen und abhängigen Variabeln auszudrücken, um den Maximums- oder Minimumswert des vorgelegten Integrals explicite als Function dieser Grenzwerte zu erhalten. Da aber die Gleichungen, welche die Integrationsconstanten mit den Grenzwerten verknüpfen, fast niemals eine factische Auflösung nach jenen Constanten gestatten, so ist man genötigt, unter Beibehaltung dieser Gleichungen als Bedingungsgleichungen den zweiten Teil der Aufgabe so zu lösen, dass man Constante und Grenzwerte gleichzeitig so zu bestimmen sucht, dass der Wert, den das Integral für die Lösungen der Differentialgleichungen des Hauptproblems annimmt, ein Maximum oder Minimum wird. Diese Beibehaltung der willkürlichen Constanten gestattet es aber, die Function, welche die Integration der Differentialgleichungen für den Wert des Integrals liefert, unter Hinzuziehung der genannten Bedingungsgleichungen, ebenso wie diese selbst in der mannigfachsten Weise umzuformen; es ist jedoch durchaus nicht gleichgültig, von welcher Ausdrucksweise des Integralwertes und der Bedingungsgleichungen man ausgeht, da eine ungeeignete Form derselben sofort zu sehr verwickelten Gleichungen führen kann. Diese Schwierigkeit gelingt es nun dem Verfasser zu heben durch die von Clebsch zu einem ganz anderen Zwecke (Borchardt J. LV.) gelehrte Reduction der Differentialgleichungen des Hauptproblems auf ihre Hamilton'sche partielle Differentialgleichung. Jede vollständige Lösung dieser Gleichung ergiebt nämlich in sich selbst einen äusserst geeigneten Ausdruck des Maximums- oder Minimumswertes des Integrals, und zugleich liefern die aus dieser vollständigen Lösung hervorgehenden canonischen Integralgleichungen des Problems unmittelbar die für diesen Ausdruck zweckmässigste Form der Bedingungsgleichungen zwischen Grenzwerten und Integrationsconstanten. Dies ist der Weg, auf welchem in der vorliegenden Arbeit die Kriterien des Maximums und Minimums bei variabeln Grenzwerten in ausführlicher Weise abgeleitet werden. Als Beispiel wird die bekannte Aufgabe, deren Behandlung den Verfasser auf die angedeutete Theorie geführt hat, gelöst: diejenige ebene Curve von gegebenen Endpunkten zu finden, welche bei voller Umdrehung um eine in ihrer Ebene gelegene feste Axe eine Fläche von möglichst kleinem Flächeninhalt erzeugt, und dann noch eine Modification dieses Problems, die darin besteht, dass der eine Endpunkt auf einer gegebenen Curve liegen soll, während die Lage des anderen und die Länge der Curve gegeben sind.