General investigations on the rectification of curves. (Q1545609)

Bezeichnet \(f(x)\) eine von \(x_0\) bis \(x_1\), eindeutig gegebene Function, welche weder stetig, noch differentiirbar zu sein braucht, so wird die Länge der durch die Gleichung \(y=f(x)\) definirten Curve folgendermassen festgesetzt. Man denke sich eine Folge von Teilungen der Strecke \(x-x_0\), deren jede Teile liefert, welche vollständig innerhalb der von der vorausgehenden erzeugten Teile liegen. Sind die Abscissen der Punkte der \(n^{\text{ten}}\) Teilung \(x_{n_0}, x_{n_1},\dots\) denen die Werte \(y_{n_0}, y_{n_1},\dots\) von \(y\) entsprechen, so sollen ferner alle Differenzen \(x_{n_1r+1}-x_{n_1r}\) mit \(n\) unendlich klein werden. Bildet man die Streckensumme \[ L_n=\sum_r\sqrt{(x_{n_1r+1}-x_{n_1r})^2+(y_{n_1r+1}-y_{n_1r})^2}\quad (r=0,1,\dots), \] so hat \(L_n\) bei lim \(n=+\infty\) einen Grenzwert. Tritt nun bei jeder Wahl des Gesetzes der Teilungen derselbe endliche Grenzwert \(L\) für \(L_n\) auf, so hat die obige Curve zwischen den Punkten \(x_0y_0\) und \(x_1y_1\) die Länge \(L\). Zur Existenz von \(L\) ist notwendig, dass für jeden Wert von \(x\) im Intervalle \((x_0, x_1)\) 1) endliche Grenzwerte \(f(x+0)\) und \(f(x-0)\) existiren und 2) \(f(x)\) zwischen \(f(x-0)\) und \(f(x+0)\) liegt oder einer dieser Grössen gleich ist, 3) dass die Werte \(x\), wofür \(f(x+0)\) nicht gleich \(f(x-0)\) ist, eine endliche oder abzählbar unendliche Menge bilden (was übrigens aus 1) folgt), 4) dass die Summe der absoluten Beträge der Differenzen \(f(x+0)-f(x-0)\) endlich ist. Sind umgekehrt diese Bedingungen erfüllt, so hat die Curve \(y=f(x)\) eine Länge \(L\), wenn die Grössen \(L_n\) bei irgend einem System von Teilungen unter einer endlichen Grösse \(\mathfrak A\) bleiben. Die Untersuchungen über die Existenz der Länge von Curven, die durch den vorstehenden Bedingungen genügende unstetige Functionen definirt sind, lassen sich auf Untersuchungen über stetige Curven zurückführen. Wenn die beiden vorderen (hinteren) Derivirten der stetigen Function \(f(x)\) [d. i. die Unbestimmtheitsgrenzen von \[ \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\quad \text{bei lim }h=-0(+0)], \] für alle Innenpunkte des Intervalles \((x_0, x_1)\) zwischen zwei Zahlen \(\mathfrak U, U'\) liegen, von denen wenigstens eine endlich ist, so hat die Curve \(y=f(x)\) von \(x_0\) bis \(x_1\) eine bestimmte Länge \(L\). Desgleichen, wenn \(f(x)\) eine im Intervalle \((x_0,x_1)\) endliche Function ist und die vier Derivirten für die Innenpunkte desselben zwischen \(\mathfrak A\) und \(\mathfrak A'\) liegen. Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass die Curve \(y=f(x)\) von \(x_0\) bis \(x_1\), eine bestimmte Länge \(L\) besitzt, besteht darin, dass eine endliche oder unendliche Schar von Intervallen \(i_r\), in deren jedem die Curve eine Länge hat, zwischen \(x_0\) und \(x_1\), sich so bestimmen lässt, dass sie sämtlich auseinander liegen und dass alle im Innern keines einzigen Intervalles \(i_r\) gelegenen Punkte der Strecke \(x_0x_1\) eine endliche oder eine abzählbar unendliche Menge bilden. Alle im Verstehenden erwähnten Fälle der Rectificirbarkeit sind durch Beispiele erläutert.