The concept of the length of a curve is not only independent of the concept of derivative but also of that of continuity. (Q1545610)

Es sei \(f(x)\) eine endliche Function im Intervalle \((a,b)\). Die Curve \(y=f(x)\) hat im Intervalle \(a\) bis \(x\leqq b\) eine endliche Länge wenn die Summe \[ \sum_1^n{}_s h_s\;\sqrt{1+\frac{k_s^2}{h_s^2}}\,, \] worin \[ h_1+h_2+\cdots+h_n=x-a, \] \[ k_s=f(a+h_1+\cdots+h_s)-f(a+h_1+\cdots+h_{s-1}) \] ist, zu einem endlichen Grenzwerte convergirt bei gleichzeitigem Unendlichkleinwerden der Grössen \(h_1,h_2,\dots,h_n\). Das tritt stets ein, wenn \(f(x)\) im Intervalle \((a, b)\) monoton ist. Auf diese Untersuchung folgen Betrachtungen über monotone Functionen einer Veränderlichen, welche sich wohl nicht in Kürze wiedergeben lassen.