On cuts of functions. (Q1545614)

Die Aufstellung von Functionen mit Unstetigkeitslinien, welche von Hermite (vergl. z. B. Cours de M. Hermite rédigé par Andoyer, 2. Ausg. p. 108 ff.) für einfache Integrale gegeben worden ist, wird für solche Functionen \(F(z)\) entwickelt, welche durch Doppelintegrale definirt sind: \[ F(z)=\iint\frac{f(x,y,z)}{g(x,y)-z}\,dxdy, \] wo \(f(x,y,z)\) und \(g(x,y)\) reelle Functionen bedeuten und die Integration über ein bestimmtes ebenes Flächenstück \(A\) auszudehnen ist. Die (reellen) Werte von \(z\), für welche \(g(x,y)-z=0\), ergeben dann Stücke der reellen Axe, welche für die Function \(F(z)\) Unstetigkeitslinien sind. Die Differenz der Functionswerte zu beiden Seiten dieser Linien \[ \varDelta F=F(z+\lambda i)-F(z-\lambda i) \] lässt sich in der Form darstellen: \[ \varDelta F=2i\pi\int_{x_0}^{x_1}\frac{f(x,y,z)}{g_y'(x,y)}dx, \] wo \(y\) aus der Gleichung \[ g(x,y)-z=0 \] zu substituiren ist, und die Integration über den innerhalb des Flächenstücks \(A\) verlaufenden Teil dieser Curve zu erstrecken ist. Als Beispiel wird die Function \[ G(\alpha,\beta,a,b; z)=1+\frac{\alpha\beta}{ab}z+ \frac{\alpha(\alpha+1)\beta(\beta+1)}{a(a+1)b(b+1)}z^2+\dots \] betrachtet, welche sich bis auf einen Factor durch das Doppelintegral: \[ \int_{-1}^{+1}\int_{-1}^{+1}\frac{x^{\alpha-2}(1-x)^{a- \alpha-1}y^{\beta-2}(1-y)^{b-\beta-1}dxdy}{\frac{1}{xy}-z} \] darstellen lässt, und für welche die reelle Axe von +1 bis \(+\infty\) als Unstetigkeitslinie auftritt.