On the generalization of a formula of Abel. (Q1545620)

Die Abel'sche Formel, um welche es sich hier handelt, lautet: \[ f(x)=\frac{\sin{}n\pi}{\pi} \int_0^x\frac{da}{(x-a)^{1-n}} \int_0^a\frac{f'(z)dz}{(a-z)^n}\cdot \] Herr Sonine entwickelt folgenden Satz, welcher diese Formel als speciellen Fall enthält: Die Functionen \(\sigma(x)\) und \(\psi(x)\) seien so bestimmt, dass identisch, d. h. für jedes \(z\), \[ z.\int_0^1\sigma(z\mu)\psi(z-z\mu)d\mu=1 \] ist. Dann gilt die Relation \[ \int_a^x f(\xi)d\xi=\int_a^x\psi(x-\lambda)d\lambda \int_a^\lambda f(\xi)\sigma(\lambda-\xi)d\xi \] für jede beliebige Function \(f(\xi)\). Wählt man hier \[ \sigma(x)=x^{-n},\quad \psi(x)=\frac{\sin{}n\pi}{\pi}\,x^{n-1} \] und setzt \(f'(\xi)\) an Stelle von \(f(\xi)\), so ergiebt sich die Abel'sche Formel. Eine sehr allgemeine Art, die Functionen \(\sigma(x), \psi(x)\) der gestellten Bedingung gemäss zu bestimmen, ist, wie Herr Sonine ausführt, die folgende: Es sei \[ \varphi(x)=1+c_1y+c_2y^2+\cdots \] eine beliebige Potenzreihe und es werde \(\frac{1}{\varphi(y)}\) in die Reihe \[ \frac{1}{\varphi(y)}=1+d_1y+d_2y^2+\cdots \] entwickelt. Dann kann man \[ \begin{aligned} & \sigma(x)=x^{-p}\left[\frac{1}{\varPi(-p)} +\frac{c_1.xy}{\varPi(1-p)}+\frac{c_2.(xy)^2}{\varPi(2-p)}+\cdots\right], \\ & \psi(x)=x^{-q}\left[\frac{1}{\varPi(-q)} +\frac{d_1.xy}{\varPi(1-q)}+\frac{d_2.(xy)^2}{\varPi(2-q)}+\cdots\right] \end{aligned} \] annehmen. Dabei bezeichnen \(p\) und \(q\) zwei positive, nur der Bedingung \(p+q=1\) unterworfene Grössen, und es ist \(\varPi\) das Gauss'sche Zeichen für die Gammafunction. Dieses Resultat verallgemeinert Herr Sonine in folgender Weise. Die aus der Reihe \[ \varphi(x)=\sum_{n=0}^\infty c_ny^n \] abgeleitete Reihe \[ x^s\sum_{n=0}^\infty \frac{c_n(xy)^n}{\varPi(n+s)} \] werde allgemein mit \(\varphi_s(x)\) bezeichnet. Dann ist für eine beliebige Function \(f(\xi)\) \[ \int_a^x f(\xi)\varphi_{r+s+1}(x-\xi)d\xi= \int_a^x\psi_r(x-\lambda)d\lambda \int_a^\lambda f(\xi)\sigma_s(\lambda-\xi)d\xi \] unter der Voraussetzung, dass identisch, d. h. für alle Werte von \(x\), \[ \psi(x).\sigma(x)=\varphi(x)\quad \text{und}\quad r>-1,\;s>-1 \] ist.