Proof of Puiseux's theorem. (Q1545631)

Der Satz von Puiseux lautet: Eine Function einer complexen Variabeln \(z\), \(F(z)\), welche durchweg eindeutig ist und zugleich einer algebraischen Gleichung \[ \varPhi_0(z)F(z)^n+\varPhi_1(z)F(z)^{n-1}+\cdots+ \varPhi_{n-1}(z)F(z)+\varPhi_n(z)=0 \] welcher die \(\varPhi_0(z),\varPhi_1(z),\dots\) ganze rationale Functionen von \(z\) sind, ist eine rationale Function von \(z\). Die von Kronecker gegebenen Beweise machen den Satz unabhängig von der Voraussetzung der allgemeinen Entwickelbarkeit einer algebraischen Function in eine Potenzreihe, indem die Entwickelung in die Taylor'sche Reihe nur bis zu einem von vornherein durch den Grad der Gleichungscoefficienten zu bestimmenden Gliede fortschreitet. Durch diese Entwickelung charakterisirt sich gleichzeitig die Möglichkeit der Abspaltung einer Wurzel der algebraischen Gleichung, während die Eindeutigkeit der Function durch deren Darstellung in Form des Cauchy'schen Integrals \[ F(z)=\frac{-1}{2i\pi\varPhi_0(z)} \int\frac{\varPhi_0(\zeta)F(\zeta)}{z-\zeta}\left( 1-(\frac{z-z_0}{\zeta-z_0})^{m+1}\right)d\zeta, \] (die Integration über einen unendlich grossen Kreis verstanden) sich ausspricht. Die Beweismethode giebt dabei die Möglichkeit der wirklichen Aufstellung der Function \(F(z)\), und lässt sich in gleicher Weise auch für die Bestimmung der rationalen Factoren einer ganzen Function von mehreren Variabeln verwenden.