On the genus of some entire functions. (Q1545632)

In einigen früheren Noten (vgl. C. R. LXXXIV., LXXXV der F. d. M. XIV. 1882. p. 57, JFM 14.0057.03. JFM 14.0057.04, JFM 14.0057.05) über ganze Functionen hat Laguerre im Anschluss an die Weierstrass'sche Darstellung einer solchen Function durch ihre Primfactoren den Begriff des ``Geschlechtes'' einer solchen Function eingeführt, wonach \[ F(x)=e^{G(x)}\varPi(1-\tfrac x\alpha)e^{Q_\omega(\frac x\alpha)} \] als vom Geschlechte \(n\) bezeichnet wird nach dem Grade \(\omega\) des Polynoms \(Q_\omega(\frac x\alpha)\) (falls überhaupt dafür ein bestimmter Grad sich angeben lässt). In Verallgemeinerung eines schon damals angebahnten Satzes wird jetzt folgendes Theorem aufgestellt: Wenn eine ganze Function vom Geschlechte \(n\) nur eine endliche Anzahl imaginärer Wurzeln besitzt, so ist auch ihre Ableitung vom Geschlechte \(n\) und ebenso alle folgenden Ableitungen. Weiter ist unter denselben Voraussetzungen auch \[ \Theta_0F(x)+\Theta_1F'(x)+\Theta_2F''(x)+ \cdots+\Theta_hF^{(h)}(x), \] wo \(h\) irgend eine ganze Zahl, \(\Theta_0, \Theta_1,\dots,\Theta_h\) irgend welche ganze Polynome bezeichnen) eine ganze Function vom Geschlechte \(n\). Die wahrscheinliche Ausdehnung des Satzes auch für den Fall des Vorhandenseins einer unendlichen Zahl imaginärer Factoren streng zu beweisen ist dem Verfasser noch nicht gelungen.