Doubly periodic functions of the third kind. (Q1545647)

Die hauptsächlichsten Resultate dieser Abhandlung wurden vom Verfasser in einer Note in den C. R. XCVII. 1419-1422, mitgeteilt; wir verweisen deshalb auf das Referat in F. d. M. XV. 1883. 340 (JFM 15.0340.01). Nachdem in den beiden ersten Abschnitten die Zerlegung der Function \(F(z)\) in Elementarfunctionen für die beiden Fälle \(m>0\) und \(m<0\) bewerkstelligt ist, werden die gewonnenen Resultate im dritten Abschnitt auf gewisse Functionen eines analytischen Punktes \((x,y)\) ausgedehnt. Zuerst wird \(z\) durch das elliptische Integral erster Gattung \[ z=\int_0^x\frac{dx}{y},\quad y^2= A_0x^4+A_1x^3+A_2x^2+ A_3x+A_4, \] ersetzt; alsdann werden Functionen \(\varphi(x, y)\) des analytischen Punktes von folgenden Eigenschaften betrachtet: 1) wenn der Punkt \((x,y)\) einen Cyklus beschreibt, der einer Gruppe von Perioden ungeraden Ranges \(\varOmega_{2i-1}^{(1)}, \varOmega_{2i-1}^{(2)},\dots, \varOmega_{2i-1}^{(p)}\) entspricht, so soll sich die Function \(\varphi(x,y)\) nicht ändern; 2) wenn der Punkt \((x,y)\) einen Cyklus beschreibt, der einer Gruppe Perioden von geradem Range \(\varOmega_{2i}^{(1)}, \varOmega_{2i}^{(2)},\dots, \varOmega_{2i}^{(p)}\) entspricht, so wiederhole sich die Function \(\varphi(x,y)\) multiplicirt mit \(e^{-mu^{(i)}(x,y)}\) wo \(m\) eine ganze Zahl ist. Vergleiche die früheren Arbeiten des Verfassers: ``Sur les fonctions uniformes d'un point analytique \((x, y)\)'', Acta Math. I. (s. F. d. M. XIV. 1882. 333, JFM 14.0333.01) und ``Généralisation des fonctions doublement périodiques de seconde espèce'', Resal J. (3) IX. (s. F. d. M. XV. 1883. 412, JFM 15.0412.01).