The algebraic transformation of doubly periodic functions. (Q1545648)

Gewöhnlich wird die allgemeine algebraische Transformation der doppeltperiodischen Functionen durch Ausführung zweier rationalen Transformationen, einer directen und einer umgekehrten, gewonnen. Der Herr Verfasser zeigt, unter Benutzung functionentheoretischer Sätze, wie man auch unmittelbar zu der betreffenden allgemeinen Beziehung gelangen kann. Wenn zwei doppeltperiodische Functionen \(f(x)\) und \(\varphi(x)\) mit den Intervallen \(K\) und \(L\), resp. \(K', L'\) durch eine algebraische Gleichung verbunden sind, so bestehen zwei Gleichungen \[ kK+lL=k'K'+l'L' \] \[ k_1K+l_1L=k_1'K+l_1'L' \] derart, dass die beiden Determinanten \[ \begin{vmatrix} \l\quad &\l\\ k & l \\ k_1 & l_1 \end{vmatrix} \quad\text{und}\quad \begin{vmatrix} \l \quad &\l\\ k' & l' \\ k'_1 & l'_1 \end{vmatrix} \] nicht =0 sind. Solche Paare von Grundgleichungen mit kleinster Determinante heissen reducirte Grundgleichungen; jedes Paar kann aus einem reducirten mittels ganzer Coefficienten linear zusammengesetzt werden. Die Werte \[ f_1=f(x_1+m'K'+n'L'),\quad f_2=f(s'-x_1+m'K'+n'L'), \] welche \(f(x)\) für einen bestimmten Wert \(\varphi(x)\) und die Werte \[ \varphi_1=\varphi(x_1+mK+nL),\quad \varphi_2=\varphi(s-x_1+mK+nL), \] welche \(\varphi(x)\) für den Wert \(f(x_1)\) von \(f(x)\) erhält, werden nun in vier Ebenen, in denen verschiebbare Parallelogramme construirt werden, auf eigentümliche Weise gruppirt. Lässt sich nun die algebraische Gleichung zwischen \(f(x)\) und \(\varphi(x)\) auf die Form \[ \frac{(x-a_1)(x-a_2)\dots(x-a_m)}{(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\dots(x-\alpha_m)}= M\frac{(y-b_1)(y-b_2)\dots(y-b_m)}{(y-\beta_1)(y-\beta_2)\dots(y-\beta_m)} \] bringen, so lautet die gesuchte Relation: \[ \begin{aligned} & A\cdot\frac{\varPi[f(x)-f(x_1+k'K'+l'L')].\varPi[f(x)-f(s'-x_1+k'K'+l'L')]}{ \varPi[f(x)-f(x_2+k'K'+l'L')].\varPi[f(x)-f(s'-x_2+k'K'+l'L')]} \\ & =\frac{\varPi[\varphi(x)-\varphi(x_1+kK+lL)].\varPi[\varphi(x)-\varphi(s-x_1+kK+lL)]}{ \varPi[\varphi(x)-\varphi(x_2+kK+lL)].\varPi[\varphi(x)-\varphi(s-x_2+kK+lL)]}, \end{aligned} \] wo für \(x_1\) und \(x_2\) irgend welche nicht singulären Werte zu setzen sind, während für \(k'\) und \(l'\) sowie \(k\) und \(l\) die Zahlen aus den Parallelogrammen der oben erwähnten Ebenen gewonnen werden können.