On the transformation of hyperelliptic functions of two arguments. (Q1545710)

Der Verfasser hat sich die Aufgabe gestellt, für die in der Ueberschrift genannten Functionen die Eigenschaften zu finden und zu entwickeln, die denen entsprechen, welche Jacobi in Crelle J. III. für die bei der Transformation der elliptischen Functionen vorkommenden reciproken Multiplicatoren aufgestellt hat. Er giebt zunächst für die Thetafunctionen zweier Variabeln vier specielle Transformationen an, welche für den Grad \(\kappa\), der ungerade sein soll, ein Repräsentanten system der \(\kappa^3+\kappa^2+\kappa+1\) nicht äquivalenten Klassen von Transformationen der Theta liefern. Er zeigt, dass sich alle diese durch \(\frac 12(\kappa+1)\) Reihen \(\varphi(h_1,h_2)\), die der Summe zweier Theta ähnlich gebildet sind, linear ausdrücken lassen, und man gewinnt auf diesem Wege nach einigen Umformungen Gleichungen, die den von Jacobi für die elliptischen Functionen aufgestellten vollständig entsprechen. Herr Wiltheiss zeigt sodann, wie seine Darstellung auf einen Zusammenhang der zweifach Gauss'schcn Reihe mit den Thetafunctionen führt; er ist darauf durch Herrn Kronecker aufmerksam gemacht worden, der dies Resultat der Berliner Akademie schon 1868 vorgelegt, aber nicht veröffentlicht hatte. Auf diese Abschweifung vom eigentlichen Thema folgt der Nachweis, dass die Quadrate der sämtlichen \(\kappa^3+\kappa^2+\kappa+1\) transformirten Theta, die aus dem Fundamental-Theta hervorgegangen, für die Nullwerte der beiden Veränderlichen, abgesehen von einem constanten Factor, die Wurzeln einer Gleichung sind, deren Coefficienten rational aus den Nullwerten der verschiedenen ursprünglichen Theta zusammengesetzt sind; so wird auch hierin eine vollkommene Analogie mit den elliptischen Theta nachgewiesen. Den Schluss bildet der Nachweis, dass alle diese Entwickelungen mit ganz geringen Abweichungen auch für die Transformirten Theta gelten, die aus dem fundamentalen durch Vermehrung um halbe Perioden hervorgehen. Vergl. M. Krause ``Ueber Multiplicatorgleichungen der hyperelliptischen Functionen erster Ordnung'', Klein Ann. XX. 54 (F. d. M. XIV. 1882. 414, JFM 14.0414.02), wo ein Teil der Resultate auf anderem Wege gefunden ist.