On a formula of Mr. Tisserand and on the hypergeometric functions of two variables. (Q1545730)

Die vorliegende Abhandlung schliesst sich eng an mehrere Arbeiten an, über die im vorigen Jahrgang referirt ist (cf. JFM 15.0979.05). Herr Appell fasst die hauptsächlichsten Resultate jener Arbeiten kurz zusammen und wendet sich dann zur Aufstellung der Differentialgleichung dritter Ordnung, welcher die dort in Frage kommenden Entwickelungscoefficienten genügen. Er betrachtet zu dem Zwecke allgemein eine Function \(z\) von \(x\) und \(y\), die den beiden simultanen linearen partiellen Differentialgleichungen \[ (1)\quad \left\{ \begin{matrix} r=a_1s+a_2p+a_3q+a_4z, \\ t=b_1s+b_2p+b_3q+b_4z \end{matrix} \right. \] genügt, wobei \(p,q,r,s,t\) die ersten und zweiten partiellen Differentialquotienten von \(z\), die \(a,b\) beliebige Functionen von \(x\) und \(y\) sind. Die Gleichungen (1) haben im allgemeinen vier gemeinsame, linear unabhängige Integrale. Nimmt man eine Relation zwischen \(x\) und \(y\) \[ (2)\quad y=f(x) \] hinzu, so wird das allgemeine Integral \(z\) der Gleichungen (1) eine Function von \(x\) allein, die einer gewöhnlichen linearen Differentialgleichung vierter Ordnung genügt. Es wird nun erörtert, unter welchen Bedingungen sich die Ordnung der letzteren Gleichung auf 2 oder 3 erniedrigt. Einem System von der Form (1) genügt nun die Function \[ z=F_4(\alpha,\beta,\gamma,\gamma',x,y). \] (Ueber die Definition dieser Function vergl. F. d. M. XIV. 1882 S. 375, JFM 14.0375.01). Findet zwischen \(x\) und \(y\) die Relation \[ (2^{\text{a}})\quad \sqrt x+\sqrt y=1 \] statt, so erniedrigt sich die Ordnung der gewöhnlichen Differentialgleichnng für \(z\) auf die dritte; indem \(y=\nu^2\) gesetzt wird, gelingt es, die nötigen Eliminationen auszuführen und die Differentialgleichung, der \(z\) als Function von \(\nu\) genügt, wirklich aufzustellen, was bisher noch nicht ausgeführt war. Die Gleichung hat die Form \[ (3)\quad (\nu-\nu^2)^2\;\frac{d^3z}{d\nu^3}+ (\nu-\nu^2)(a+b\nu)\,\frac{d^2z}{d\nu^2} +\{a_1+b_1\nu+c_1\nu^2\}\;\frac{dz}{d\nu} +(a_2+b_2\nu)z=0. \] Von derselben Form wird die Differentialgleichung, welcher \[ z=F_2(\alpha,\beta,\beta',\gamma,\gamma',x,y) \] für \(y=1-x\) genügt. Es wird weiter untersucht, wann man die Gleichung (3) durch hypergeometrische Reihen zweiter Ordnung integriren kann; endlich wird das Verhalten der Integrale jener Gleichung in der Umgebung der singulären Punkte \(0,1,\infty\) kurz besprochen.