Analytical determination of regular convex bodiesin arbitrary dimensional spaces. (Q1545756)

(Siehe auch JFM 16.0470.01) Ein regelmässiger drei-dimensionaler Körper lässt sich auf ein rechtwinkliges Coordinatensystem so beziehen, dass, wenn eine Fläche desselben durch die Coordinaten ihrer Eckpunkte festgelegt ist, die Coordinaten der übrigen Eckpunkte in einfacher Weise aus den ersten berechnet werden können. Hierin liegt die Möglichkeit eingeschlossen, diese Körper geradezu aufzufinden, indem an jene erste Fläche auf alle möglichen Arten ein zuletzt sich von selbst schliessendes Netz weiterer congruenter Flächen angefügt wird, wobei Unmöglichkeiten durch das Auftreten complexer Coordinatenwerte charakterisirt sind. Dieselbe Ueberlegung, in dem nächst höheren Gebiete angestellt, wird die regelmässigen vier-dimensionalen Körper liefern, dargestellt durch die Coordinaten ihrer Eckpunkte in einem rechtwinkligen vieraxigen Coordinatensystem. Und offenbar steht der Ausdehnung dieses analytischen Verfahrens auch auf höhere Mannigfaltigkeiten nichts im Wege. Durch Befolgung dieser Methode gelangt nun der Verfasser in der That zu den bekannten Resultaten über die regelmässigen Gebilde in den Räumen mit vier und mehr Dimensionen. Im Anschluss hieran untersucht der Verfasser die Zahl der Möglichkeiten, wie der allgemeine Körper \(T_n\) aus der Reihe Quadrat, Würfel, Achtzell u. s. w. durch Drehungen in sich selbst übergeführt werden kann, und gelangt so zu dem Satze: In der allgemeinen Gruppe von \(2n\)-Elementen (worunter die den Körper begrenzen den \(T_{n-1}\) verstanden sind) ist eine ausgezeichnete Untergruppe enthalten, welche die Ordnung hat \(n!\_^{n-1}\) (Zahl der Drehungen). Hieran schliesst sich ein ähnlicher Satz über eine weitere ausgezeichnete Untergruppe. Die Substitutions-Determinanten haben dabei stets den Wert \(\pm 1\).