A paradox in elementary geometry. (Q1545775)

``Teilt man in einem gleichseitigen Dreieck \(ABC\) die Winkel \(A, B, C\) in je zwei Teile \(\varphi_1\) und \(\psi_1, \varphi_2\) und \(\psi_2, \varphi_3\) und \(\psi_3\), so dass die Proportionen \[ \frac{\varphi_1}{\psi_1}=\frac mn,\quad \frac{\varphi_2}{\psi_2}=\frac np,\quad \frac{\varphi_3}{\psi_3}=\frac pm \] bestehen, so schneiden sich die drei Teilungslinien in einem Punkte.'' Thatsächlich ist diese Behauptung selbstverständlich nicht richtig, wohl aber lässt sich der Nachweis führen, dass das von den drei Geraden gebildete Dreieck im Verhältnis zum Dreieck \(ABC\) stets nur einen sehr kleinen Wert hat. Das Verhältnis beider Dreiecksflächen wird durch eine, lediglich die drei Zahlen \(m, n, p\) in sich aufnehmende Formel ausgedrückt.