On the point of a minimal sum of given points. (Q1545844)

Sind die Punkte \(A_1, A_2, A_3,\dots, A_n\) gegeben, so kann der Punkt, für den die Summe der Entfernungen von jenen Punkten ein Minimum ist, entweder ein Punkt \(M\) sein, welcher nicht mit einem der gegebenen Punkte zusammenfällt, oder es kann als ein solcher Punkt kleinster Entfernungssumme einer der gegebenen Punkte selbst, etwa \(A_n\) auftreten. Bezeichnet man im ersten Fall den Winkel, den \(MA_i\) mit einem beliebigen von \(M\) auslaufenden Richtstrahl bildet, mit \({\mathfrak a}_i\), so prägt sich die Minimalbedingung. für \(M\) in der Form aus \(\sum\cos{\mathfrak a}_i=0\). Liegt dagegen der zweite Fall vor, ist also etwa \(A_n\) der Punkt kleinster Entfernungssumme, so wird, wenn \({\mathfrak a'}_i\) den Winkel bedeutet, welchen \(A_nA_i\) mit einem beliebigen von \(A_n\) auslaufenden Richtstrahl bildet, als Bedingung gewonnen \[ 1\geqq\sum_1^{n-1}\cos{\mathfrak a'}_i\geqq -1. \] Diese Bedingungen sind nicht nur notwendig, sondern auch ausreichend. Ist jene erfüllt, so giebt es einen von den \(A_1, A_2, \dots, A_n\) verschiedenen Punkt \(M\), für welchen die Entfernungssumme ein Minimum ist, und ist diese erfüllt, so wird \(A_n\), einer der gegebenen Punkte, Minimumspunkt. Damit ist ein Punkt \(M\) bez. \(A_n\) als ein Punkt absoluten Minimums nachgewiesen. Diese Eigenschaft, dass der Punkt \(M\) bez. \(A_n\) eine kleinere Entfernungssumme hat, als ein beliebiger Punkt des Raumes, ist in keiner der Arbeiten, welche sich mit dieser Frage beschäftigt haben, bisher dargethan; hier wird sie auf eine höchst einfache und durchsichtige Weise entwickelt. Die beiden oben ausgesprochenen Minimalbedingungen lassen sich in folgende Form kleiden. Giebt es einen von den \(A_1, A_2,\dots, A_n\) verschiedenen Punkt \(M\), für welchen das Minimum statthat, so müssen die Strecken \(MA_1, MA_2,\dots, MA_n\) in Richtung und Sinn übereinstimmen mit den Seiten eines im allgemeinen räumlichen gleichseitigen \(n\)-Ecks, oder was dasselbe ist, \(n\) gleiche Kräfte, welche in dem Sinne \(MA_1, MA_2,\dots,MA_n\) wirken, müssen sich das Gleichgewicht halten. Ist dagegen ein solcher Punkt \(M\) nicht vorhanden, so muss einer der gegebenen Punkte, etwa \(A_n\), Minimumspunkt sein, und die für ihn gültige Bedingung spricht sich in der Form aus: Es müssen die Strecken \(A_nA_1, A_nA_2,\dots, A_nA_{n-1}\) in Richtung und Sinn übereinstimmen mit \((n-1)\) gleichen Seiten eines \(n\)-Ecks, etwa von der Länge \(a\), während die letzte Seite \(\leqq a\) ist. Die Untersuchung der Specialfälle für \(n=3\) und \(n=4\) schliesst sich an diese allgemeinen Entwickelungen an, doch kann auf die Ergebnisse derselben, wenngleich sie manches Interessante bietet, hier nicht näher eingegangen werden.