Theorie der trilinearen Verwandtschaft ebener Systeme. II. Artikel. Die orientirte Lage. (Q1545864)

(Vergl. F. d. M. XV. 1883. 501., JFM 15.0501.02) Die Centralprojectionen eines räumlichen Systems aus drei Centren auf drei Ebenen, welche nur einen Punkt gemein haben, bilden drei trilineare ebene Systeme in orientirter Lage. Es fragt sich, ob, wenn drei trilineare Systeme durch die auftretenden Projectivitäten definirt sind, diese auch stets in orientirte Lage übergeführt werden können. Diese Frage ist zu bejahen. Man kann zunächst, ausgehend von drei orientirten Systemen, dieselben in unendlich viele andere orientirte Lagen bringen; die räumlichen Systeme, welche diesen Lagen einzeln entsprechen, sind dann unter sich collinear. Behufs Ausführung dieser Transformation vereinige man drei beliebige einander zugeordnete Punkte \(a,a',a''\) im neuen Schnittpunkt der Grundebenen; dann giebt es noch acht verschiedene orientirte Lagen, entsprechend acht Combinationen von paarweise congruenten sich entsprechenden Punktreihen durch \(A\) derart dass die Vereinigung eines solchen Paares einen spätern Grundschnitt darstellt. Diese Lagen sind nicht immer reell vorhanden; die Kriterien für die Realität werden angegeben durch Abgrenzung des ``günstigen Gebiete'' solcher Punkte \(a\) und \(a'\) auf den bezüglichen Geraden \(g\) und \(g'\), für welche der zugeordnete Punkt \(a''\) auf \(g''\) reelle Lösungen liefert. Besonders einfach gestaltet sich die Herstellung der orientirten Lage für ein unendlich fernes Tripel \(a, a', a''\), welches sich stets ermitteln lässt. Denn auf drei beliebigen nicht einander zugeordneten Geraden \(r,s',t''\) giebt es stets ein und nur ein Tripel zugeordneter Punkte, welche man als Schnittpunkte der bestimmten, je zweien von \(r,s',t''\) zugeordneten Geraden, mit der jedesmaligen dritten erhält. Im vorliegenden Falle wären zu \(r,s',t''\) die unendlich fernen Geraden der Grundebenen zu nehmen. Nennt man die Linien, welche mit je zweien von ihnen ein Tripel bilden, die ``Fluchtlinien'' der Ebenen, so sind die gesuchten Punkte die unendlich fernen der Fluchtlinien. In der jetzt herzustellenden orientirten Lage sind die Grundschnitte parallel. Diese Grundschnitte können auch noch vereinigt werden; denn es zeigt sich, dass im allgemeinen vier Tripel congruenter Punktreihen vorhanden sind, welche einzeln zur Axe des Büschels der drei Ebenen Verwendung finden können. Endlich ist es zulässig, die Ebenen noch durch Drehung um die Axe zur Deckung zu bringen, wodurch eine ebene trilineare Verwandtschaft erzielt wird, wesentlich verschieden von der bekannten collinearen: Bei jener schneiden sich die Verbindungslinien dreier Punkte eines Tripels mit ihren bez. Centren in einem Punkte des Originals, bei dieser gehen die Verbindungslinien entsprechender Punkte durch das Collineationscentrum. Die Vereinigung der Ebenen kann auf vier verschiedene Arten geschehen; eine neue Lage geht aus einer gegebenen durch Drehung einer Ebene um \(180^\circ\) hervor; folglich können drei trilineare ebene Systeme im allgemeinen auf 4.4=16 verschiedene Arten in orientirte Lage in einer und derselben Ebene mit gemmeinschaftlichem Grundschnitt gebracht werden. Aus den mitgeteilten Constructionen ist zu entnehmen, dass die Herstellung einer solchen Lage stets herbeigeführt werden kann, wie auch die Projectivitäten der Kernstrahleubüschel gegeben sein mögen, daraus folgt die bejahende Antwort der anfangs aufgeworfenen Frage; eine Discussion der Bestimmungsstücke führt zu dem Resultat: Drei projectiv-trilineare Systeme sind bestimmt durch die sechs Kernpunkte und zwei Tripel zugeordneter Punkte, welche willkürlich gewählt werden können, mit der Beschränkung, dass von den in einer Ebene liegenden zwei Tripelpunkten und zwei Kernpunkten keine drei in gerader Linie liegen dürfen. Knüpft man den Begriff der orientirten Lage an die blosse Bedingung der perspectivischen Lage der gegnerischen Kernstrahlenbüschel, so ist auch eine solche Lage als eine orientirte zu bezeichnen, wo in einer und derselben Ebene je zwei gegnerische Kernstrahlenbüschel perspectivisch sind, ohne dass die perspectivisehen Durchschnitte (Grundschnitte) durch einen Punkt gehen. Hier können insbesondere bei der ebenen Orientirung in diesem weitern Sinne'' die Hauptaxen und also sämtliche Kernpunkte in gerade Linie rücken. An diese Lage sollen weitere Artikel anknüpfen.