Lineare Constructionen zur Erzeugung der kubischen Fläche. (Q1545954)

Zwei lineare Erzeugungsweisen der kubischen Fläche sind bisher näher betrachtet worden: 1) Aus drei in collineare Beziehnug gesetzten (zweistufigen) Ebenenbündeln. Diese Erzeugungsweise stammt von Grassmann und ist von Herrn Schröter (Borchardt J. LXII. S. 263) selbst und von Herrn Sturm in seinem bekannten Werke ``Synthetische Untersuchungen über Flächen dritter Ordnung'' zur Construction und zur Erforschung der Eigenschaften der Fläche benutzt worden. 2) Aus drei in trilineare Beziehung gesetzten (einstufigen) Ebenenbüscheln. Diese Erzeugungsweise ist von Grassmann nicht direct ausgesprochen, wiewohl sie auch aus seinen Betrachtungen folgt; sie ist vom Referenten (F. August. Disquisitiones de superficiebus tertii ordinis. Dissert. inaug. Berol. 1862) und neuerdings von Herrn H. Schubert (Math. Ann. XVII. S. 457) eingehender untersucht worden. Es sind aber in der Grassmann'schen Arbeit (Crelle J. XLIX.) noch zwei andere Erzeugungsweisen angedeutet; wenn man diese der eigentümlichen Form entkleidet, welche aus dem Princip der geometrischen Multiplication entsprungen ist, und in der gebräuchlichen Sprache der Geometrie darstellt, wird man zu zwei sehr einfachen Constructionen geführt, welch nach der Ansicht des Herrn Verfassers vor den zuerst besprochenen vielleicht den Vorzug verdienen. Nachdem der Herr Verfasser der Uebersicht wegen zunächst die beiden genannten Erzeugungsweisen eingehend besprochen und namentlich auch die 27 Geraden mit Hülfe derselben untersucht hat, wendet er sich der Betrachtung dieser neuen Erzeugungsweisen zu. Für die dritte Erzeugungsweise werden zwei Ebenenbüschel mit den (windschiefen) Axen \(a_1\) und \(a_2\) gegeben, ferner ein Ebenenbündel mit dem Mittelpunkt \(B\). Durch zwei andere windschiefe Geraden \(b_1,b_2\) werden diese drei Gebilde perspectivisch auf einander bezogen. Nämlich irgend ein Punkt auf \(b_1\) liegt in einer Ebene des Büschels \(a_1\), ein Punkt auf \(b_2\) liegt in einer Ebene des Büschels \(a_2\), und beide liegen in einer Ebene des Bündels \(B\). Der Ort des Durchschnittspunktes dieser drei Ebenen aber ist eine kubisehe Fläche \(F^{(3)}\). Da der Durchschnitt der beiden durch \(a_1\) und \(a_2\) gelegten Ebenen eine Gerade ist, welche durch \(a_1\) und \(a_2\) hindurchgeht, also dem Strahlensysteme erster Ordnung und Klasse angehört, welches \(a_1\) und \(a_2\) zu Brennlinien hat, so kann man diese Erzeugungsweise auch so auffassen: Man giebt ein Strahlensystem erster Ordnung und Klasse mit den (reellen oder imaginären) Brennlinien \(a_1\) und \(a_2\) und ein Ebenenbündel mit dem Mittelpunkt \(B\). Ordnet man diese beiden Gebilde ein- und eindeutig einander zu, so ist der Ort des Durchschnitts entsprechender Elemente eine kubische Fläche. Schneiden sich im besonderen die Geraden \(a_1\) und \(a_2\) in einem Punkte \(A\), so hat die erzeugte Fläche in \(A\) einen Knotenpunkt. Die vierte Erzeugungsweise ist die folgende: Es sind gegeben: Zwei beliebige Punkte \({\mathfrak A}_1,{\mathfrak A}_2\) und eine Gerade \(a_3\), zwei beliebige Ebenen \(\beta_1,\beta_2\) und eine Gerade \(b_3\) und ein Punkt \(\mathfrak B\). Durch \(\mathfrak B\) lege man eine (veränderliche) Ebene \(\xi\), welche die Ebenen \(\beta_1,\beta_2\) in den Geraden \(x_1\) und \(x_2\) schneidet, die Gerade \(b_3\) im Punkt \({\mathfrak x}_3\). Dann haben die drei Ebenen \([{\mathfrak A}_1x_1,\;{\mathfrak A}_2x_2,\;a_3{\mathfrak x}_3]\) einen Schnittpunkt \(P\), dessen geometrischer Ort eine kubische Fläche \(F_3\) ist. Diese beiden neuen Erzeugungsweisen werden nun in der Arbeit sehr eingehend besprochen; es werden jedesmal die 27 Geraden der Fläche aufgesucht, und es wird untersucht, in welchen Fällen dieselben reell, in welchen einige derselben imaginär werden.