Sur les surfaces à pente uniforme et les réseaux proportionnels. (Q1546102)

Fläche einförmiger Steigung wird eine solche genannt, auf welcher längs den Linien stärkster Steigung die Steigung constant ist. Diese Linien sind alsdann asymptotische Linien auf der Fläche. Sie werden von den Niveaulinien in proportionale Teile geteilt, was dann auch von den beiderseitigen Projectionen auf den Horizont gilt. Die so entstehenden ebenen Netze werden proportionale Netze genannt. Sie finden Anwendung in der Hydrodynamik. Sei nun \(\varrho\) der geodätische Krümmungsradius, \(T\) der Torsionsradius einer Linie constanter Steigung, \(i\) die Neigung ihrer Tangente gegen die Verticale, dann hat man \(\varrho=T \cot i.\) Bei Variation längs der Niveaulinie \(s\) ist \(ds=-Tdi,\) also \[ \frac{ds}T=-d \,\text{arctg}\, \left(\frac \varrho T \right). \] Diese Gleichung besteht bei Biegung der Fläche fort, nur ist \(T\) als Radius der Totalkrümmung zu definiren. Nennt man virtuelle Helix einer Fläche jede Curve, deren geodätischer Radius in constantem Verhältnis zum Totalkrümmungsradius steht, und Parameter derselben den Bogen, dessen Cotangente dieses constante Verhältnis ausdrückt, so wird man zu dem Satze geführt: Notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass eine Fläche auf einer Fläche einförmiger Steigung abwickelbar sei, ist, dass auf ihr eine Schar virtueller Helican existirt, deren unendlich kleine Verrückung gleich der Variation des Parameters multiplicirt mit dem Totalkrümmungsradius ist. Die Differentialgleichung der Flächen einförmiger Steigung ist: \[ \frac {\partial^2z}{\partial x^2} \left( \frac{\partial z}{\partial x} \right)^2+ 2\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} \frac {\partial z}{\partial x} \frac{\partial z}{\partial y}+ \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} \left( \frac{\partial z}{\partial y} \right )^2=0, \] ihr Integral: \[ \begin{aligned} z & =\beta(x \sin \alpha- y \cos \alpha)+u,\\ 0 & =-\beta(x \cos \alpha+y \sin \alpha)+ \frac{\partial u}{\partial\alpha},\\ 0 & =-\beta(x \sin \alpha-y \cos \alpha)+ \frac{\partial^2u}{\partial \alpha^2},\end{aligned} \] wo \(u\) Function der willkürlichen Constanten \(\alpha,\beta\) ist, bestimmt durch \[ \frac{\partial^2 u}{\partial \alpha^2}+\beta \frac{\partial u}{\partial \beta}=0. \] Das Integral letzterer Gleichung lässt sich schreiben: \[ u=\int_{-\infty}^\infty e^{-t^2} F \left( \alpha +2t \sqrt{\log \frac 1\beta} \right) dt. \] Es werden die besonderen Fälle \(F(\alpha)=\alpha\) und \(=\alpha^2\) betrachtet, die Aufgabe besprochen, die Fläche aus gegebener Helix als Curve stärkster Steigung darzustellen, zuletzt der Satz aufgestellt: Die asymptotischen Linien einer Fläche einförmiger Steigung schneiden sich unter einem Winkel, der das Doppelte des Winkels zwischen den Linien \(\beta=\) const. und \(\alpha=\) const. ist.