Sur l'equilibre des surfaces flexibles et inextensibles. (Q1546242)

In dieser Abhandlung werden die Bedingungen für das Gleichgewicht einer gegebenen biegsamen unausdehnbaren Fläche abgeleitet, welche gegebenen äusseren Kräften unterworfen ist. Das erste Capitel ist einer Darstellung der wichtigsten Eigenschaften der Oberflächen gewidmet, welche sich auf die Abwickelbarkeit derselben beziehen. Der Verfasser bedient sich hierbei zur Bestimmung der Lage eines Punktes auf der Fläche zweier Scharen von orthogonalen Curven, deren Parameter er als unabhängige Veränderliche einführt. Durch Betrachtung eines von je zwei Curven der beiden Scharen eingeschlossenen Elementarvierecks werden für die Druck- resp. Zugkräfte und die gleichen Schubkräfte, welche auf die beiden durch einen Punkt gehenden Coordinatenlinien wirken, drei lineare partielle Differentialgleichungen abgeleitet. Die rechten Seiten derselben werden gebildet durch die Componenten der äusseren Kräfte nach der Flächennormale und den Tangenten der Coordinatenlinien. Die linken Seiten haben bei zweien von ihnen dieselbe Form für alle Flächen, welche durch Biegung aus einander entstehen, und stimmen bei allen dreien überein mit den Gleichungen für die unendlich kleinen Aenderungen, welche die Normalkrümmungen und die Torsion der Linien \(u=\) const., \(v=\) const. bei unendlich kleinen Verbiegungen erfahren. Es wird gezeigt, dass man die Bestimmung der Spannungen stets auf den Fall reduciren kann, in welchem die Normalcomponente gleich Null wird, d. h. auf ein sogenanntes Tangentialsystem. Unter gewissen Bedingungen, die z. B. immer erfüllt sind, wenn die äusseren Kräfte ein Potential haben, kann man die Aufgabe auf die Betrachtung eines Normalsystems reduciren. Im dritten Capitel wird das Tangentialsystem behandelt. Es wird gezeigt, dass die Richtung der Spannung für ein Element einer Asymptotenlinie übereinstimmt mit der Richtung der anderen Asymptotenlinie. Dadurch lässt sich das System von drei Differentialgleichungen stets auf ein solches von zwei Differentialgleichungen mit zwei Unbekannten reduciren, wenn man die Differentialgleichungen der Asymptoten für die gegebene Fläche integriren kann. Die gewonnenen Resultate werden im vierten Capitel zur Bestimmung der Spannung in einzelnen Flächen angewandt. Es werden behandelt die Ebene, abwickelbare Flächen, geradlinige Flächen, insbesondere die Flächen zweiten Grades, Rotationsflächen und Minimalflächen. [Fussnote: Diese Arbeit und die des Herrn Beltrami (vgl. das nächste Referat (JFM 16.0785.01)) sind die ersten, welche neuerdings das Thema von dem Gleichgewichte der biegsamen und unausdehnbaren Flächen behandelt haben. Da die Berichte über beide Abhandlungen in den betreffended Jahrgängen des Jahrbuchs fehlen, so ist über dieselben nachträglich jetzt referirt worden. Red.]