On the motion of spherical and ellipsoidal bodies in fluid media. (Q1546325)

Die Resultate des ersten Teils der vorliegenden Arbeit, welche sich auf die Bewegung einer Anzahl von Kugeln in einer incompressiblen Flüssigkeit beziehen, machen auf Neuheit keinen Anspruch, da dieselben bereits sämtlich von Bjerknes (in mehreren bis 1871 zurückgehenden Arbeiten) sowie, insoweit sie sich auf zwei Kugeln beziehen, von Kirchhoff (Mechanik, Vorl. 18 u. 19) abgeleitet sind. Die Ableitung gestaltet sich hier allerdings in Folge der eingeführten Bezeichnungen und Abkürzungen kürzer und übersichtlicher, ohne dass neue Gesichtspunkte dabei in Frage kämen. Sind \(a_{1}, a _{2}, \dots\) die Radien der Kugeln, \(q_{1}, q_{2}, \dots\) ihre Geschwindigkeiten, \(h_1, h_2,\dots\) die Richtungen der Geschwindigkeiten, \(r _{1}, r_{2},\dots\) die Entfernungen eines beliebigen Punktes von den Mittelpunkten der Kugeln, \(\gamma_{12}, \gamma_{13}, \dots\) endlich die gegenseitigen Abstände der Kugelmittelpunkte, so lässt sich das Geschwindigkeitspotential der Flüssigkeit, dessen Existenz vorausgesetzt wird, auf die Form bringen: \[ \begin{multlined} \varphi = A_{11} \frac {\partial \frac {1}{r_ {1}}}{\partial h_{1}} + A_{12} \frac {\partial \frac {1}{r_ {2}}}{\partial h_{1}} + A_{21} \frac {\partial \frac {1}{r_ {1}}}{\partial h_{2}} + A_{22} \frac {\partial \frac {1}{r_ {2}}}{\partial h_{2}} + \dots \\ + B' _{12} \frac {\partial \frac{1}{r_{1}}}{\partial \gamma _{12}} + B'' _{21} \frac {\partial \frac{1}{r_{2}}}{\partial \gamma _{21}}+\dots + B'' _{23} \frac {\partial \frac{1}{r_{2}}}{\partial \gamma _{23}} + B''' _{32} \frac {\partial \frac{1}{r_{3}}}{\partial \gamma _{32}} + \dots \end{multlined} \] Darin ist \[ \frac{\partial \frac{1}{r_{1}}}{\partial h_{1}} = l_{1}\;\frac{\partial \frac{1}{r_{1}}}{\partial x}+ m_{1}\;\frac{\partial \frac{1}{r_{1}}}{\partial y} + n_{1}\;\frac{\partial \frac{1}{r_{1}}}{\partial z}, \] wenn \(l_{1}\), \(m_{1}\), \(n_{1}\) die Richtungscosinus der Richtung \(h_{1}\) bedeuten; die Richtungen \(\gamma_{12}\) und \(\gamma_{21}\) sind als entgegengesetzt anzusehen. Der vorstehende Ausdruck für \(\varphi\) genügt der Laplace'schen Differentialgleichung und verschwindet im Unendlichen. Aus der Bedingung, dass an der Oberfläche einer jeder Kugel die Geschwindigkeit der Flüssigkeit der Kugelfläche parallel ist, ergeben sich die Werte der Coefficienten \(A_{11}, A_{12}, \dots, B_{12}', \dots\) Bei ihrer Ermittelung ist zu beachten, dass für einen Punkt der ersten Kugelfläche \[ r^{2}_{p} = \gamma^2_{1p} + a^2_1 - 2 a_1 \gamma_{1p} \cos{} (n_1 \gamma _1p) \] ist, unter \(n_{1}\) die Richtung des Kugelradius nach dem betrachteten Punkte verstanden. Der Ausdruck \(\frac {1}{r_{p}}\) wird nun nach Kugelfunctionen entwickelt und unter den Annahme, dass die gegenseitigen Abstände der Kugelmittelpunkte sehr gross gegen ihre Radien sind, \(\frac {a^{2}_{1}}{\gamma^{2}_{1p}}\) gegen 1 vernachlässigt. Im schliesslichen Resultat werden damit Glieder von der Ordnung \(\left ( \frac {a _{1}} {\gamma_{1p}} \right ) ^{4}\) vernachlässigt. Die Bedeutung der so erreichten Näherung ist folgende. Es seien drei Kugeln vorhanden. Dann wird die Bewegung der Flüssigkeit an der Oberfläche der ersten Kugel zunächst bestimmt durch die gegebenen, von einander unabhängigen Bewegungen der drei Kugeln, sodann wird durch die gegebene Bewegungen der zweiten und dritten Kugel die der ersten und dadurch auch die Bewegung der Flüssigkeit geändert; eine weitere Aenderung tritt dadurch ein, dass die zweite und dritte Kugel gegenseitig ihre Bewegungen modificiren. Diese letzte, indirecte Aenderung der Bewegung der Flüssigkeit an der Oberfläche der ersten Kugel wird vernachlässigt, während die beiden erstem vollständig in Rechnung gestellt werden. Für die Coefficienten von \(\varphi\) ergeben sich schliesslich folgende Werte: \[ A _{pp} = \tfrac {1}{2}\;q_{p} a ^{3} _{p}, \quad A _{pm} = \frac {q _{p} a ^{3} _{p} a ^{3} _{m}}{4 \gamma ^{3} _{pm}}, \] \[ B ^{(p)} _{pm} = - \tfrac {3}{4} q _{m}\;\frac {a^{3}_{p} a^{3}_{m}}{\gamma ^{3} _{pm}} \cos{} (h _{m} \gamma _{pm}), \] während \(B ^{(r)} _{pm} = 0\) ist, wenn \(r\) von \(p\) verschieden ist. Nach bekannter Methode wird weiter die kinetische Energie der Flüssigkeit berechnet und daraus die scheinbare Kraft abgeleitet, welche zwei der Kugeln auf einander ausüben. Die Resultate übergehen wir hier, da dieselben, wie schon oben bemerkt, nicht neu sind. Wenn die Kugeln, statt sich in der Flüssigkeit zu bewegen, unter Beibehaltung der Kugelgestalt sich ausdehnen und zusammenziehen (Bjerknes bezeichnet dies als Pulsiren der Kugeln), so treten zu dem obigen Ausdruck von \(\varphi\) noch Glieder von folgender Form hinzu: \[ \frac {\mu _{1}}{r _{1}} + \frac {\mu _{2}}{r _{2}} + \cdots + G\;\frac {\partial ^{2} \frac {1}{r _{1}}}{\partial \gamma ^{2} _{12}} + H\;\frac {\partial ^{2} \frac {1}{r _{2}}}{\partial \gamma ^{2} _{21}} + \cdots \] Der Gang der Rechnung ist Analog dem früheren. Im zweiten Theile wird die Bewegung zweier Ellipsoide in einer Flüssigkeit betrachtet und die Ausdehnung der Resultate, die neu sind auf beliebig viele Ellipsoide angedeutet. Voraussetzung ist, dass ein Geschwindigkeitspotential existirt, ferner dass auch hier wie es oben beim Problem der Kugeln geschehen, Glieder von der Ordnung \(\left ( \frac {a}{\gamma} \right ) ^{4}\) vernachlässigt werden, falls \(a\) eine der Axen, \(\gamma\) die Centraldistanz der Ellipsoide bezeichnet; endlich wird noch angenommen, dass die Ellipsoide keine Rotationsbewegung haben, dass daher die Richtungen der Hauptaxen beider Ellipsoide durch die gegebenen Bewegungen derselben nicht geändert werden. Sind \(a _{1}\), \(b _{1}\), \(c _{1}\) resp. \(a _{2}\), \(b _{2}\), \(c _{2}\) die Axen der Ellipsoide, sind ferner \(\varOmega _{1}\) und \(\varOmega _{2}\) die Potentiale der (mit Masse von der Dichtigkeit 1 erfüllten) Ellipsoide in Bezug auf einen äusseren Punkt, so ergiebt sich für das Geschwindigkeitspotential der Flüssigkeit ein Ausdruck von folgender Form: \[ \begin{aligned} \varphi & = \alpha _{1}\;\frac{\partial \varOmega _{1}}{\partial a _{1}} + \beta _{1}\;\frac{\partial \varOmega _{1}}{\partial b _{1}} + \gamma _{1}\;\frac{\partial \varOmega _{1}}{\partial c _{1}}\\ & + \alpha _{2}\;\frac{\partial \varOmega _{2}}{\partial a _{2}} + \beta _{2}\;\frac{\partial \varOmega _{2}}{\partial b _{2}} + \gamma _{2}\;\frac{\partial \varOmega _{2}}{\partial c _{2}}\\ & +\alpha_{1}'\;\frac{\partial \varOmega _{2}}{\partial a _{1}} + \beta_{1}'\;\frac{\partial \varOmega _{2}}{\partial b _{1}} + \gamma_{1}'\;\frac{\partial \varOmega _{2}}{\partial c _{1}}\\ & + \alpha_{2}'\;\frac{\partial \varOmega _{1}}{\partial a _{2}} + \beta_{2}'\;\frac{\partial \varOmega _{1}}{\partial b _{2}} + \gamma_{2}'\;\frac{\partial \varOmega _{1}}{\partial c _{2}}\\ & + \delta _{1}\;\frac{\partial \varOmega _{1}}{\partial \nu_{20}'} + \delta_{2}\;\frac{\partial \varOmega _{2}}{\partial \nu_{10}'} \cdot \end{aligned} \] Hierin bedeutet \(\frac{\partial \varOmega _{1}}{\partial a _{1}}\) den Differentialquotienten von \(\varOmega _{1}\) nach der Richtung \(a _{1}\) etc. Die Richtung \( \nu_{20}'\) ist folgendermassen bestimmt: Ist \( \nu _{20}\) die Normale eines zum zweiten Ellipsoid confocalen Ellipsoids, das durch den Mittelpunkt des ersten geht, in diesem Mittelpunkte, so ist \[ \frac {\partial f}{\partial \nu_{20}'} = \frac {\cos{} (a_{1} \nu_{20})}{2 \pi (2 - A _{1})}\;\frac {\partial f}{\partial a _{1}} + \frac {\cos (b _{1} \nu_{20})}{2 \pi (2 - B _{1})}\;\frac {\partial f}{\partial b _{1}} + \frac {\cos(c _{1} \nu _{20})}{2 \pi (2 - C _{1})}\;\frac {\partial f}{\partial c _{1}}; \] \(A _{1}\) ist hierin das bekannte Integral \[ A _{1} = a _{1} b _{1} c _{1} \int _{0}\;\frac{d \lambda}{(a ^{2} _{1} + \lambda) \sqrt{( a ^{2} _{1} + \lambda)( b^{2} _{1} + \lambda)( c^{2} _{1} + \lambda)}}, \] \(B _{1}\) und \(C _{1}\) sind die analogen Integrale; \(\nu_{10}'\) endlich wird aus \(\nu_{20}'\) erhalten durch Vertauschung des ersten mit dem zweiten Ellipsoid. Die Herleitung der Coefficienten \(\alpha_1, \beta_1, \dots,\delta_1, \delta_2, \dots\) aus der Bedingung, dass die Geschwindigkeit der Flüssigkeit an der Oberfläche eines Ellipsoids dieser Oberfläche parallel ist, geschieht durch Berechnung von \[ \frac {\partial^2 \Omega_1}{\partial h \partial k},\quad\frac {\partial^2 \Omega_2}{\partial h \partial k}, \] wo \(h\), \(k\) beliebige Richtungen sind, und Anwendung der so erhaltenen Ausdrücke auf die Richtungen der Axen, Normalen etc. Die Anziehung, welche das eine Ellipsoid auf einen Punkt der Oberfläche des andern ausübt, wird dabei (in Uebereinstimmung mit der oben festgesetzten Näherung) ersetzt durch die im Mittelpunkt des zweiten stattfindende Anziehung. Die resultirenden Ausdrücke für die Coefficienten \(\alpha_1,\beta,\dots\) lassen sich nicht in Kürze wiedergeben. Aus dem obigen Ausdruck für \(\varphi\) wird nun die lebendige Kraft des aus den Ellipsoiden und der Flüssigkeit bestehenden Systems berechnet; und daraus ergeben sich folgende Resultate: 1) Die Bewegung des ersten Ellipsoids parallel der Axe \(a_1\) erfolgt so, als wäre die Flüssigkeit nicht vorhanden, die wirkliche Masse des Ellipsoids dagegen um den Teil \(\frac {A_1}{2-A_1}\) der Masse des mit Flüssigkeit gefüllten Ellipsoidvolumens vermehrt. Aehnliche Beziehungen gelten für die Bewegungen parallel den andern Axen, wie auch für das zweite Ellipsoid. 2) Ausserdem üben beide Ellipsoide scheinbare Kräfte auf einander aus, deren Potential gleich dem Potential zweier, in den Mittelpunkten der Ellipsoide befindlichen magnetischen Molecüle ist. Die Grössen und Richtungen der magnetischen Momente dieser Molecüle werden aus den gegebenen Geschwindigkeiten der Ellipsoide bestimmt. Zum Schluss wendet der Verfasser die für die Bewegung zweier Ellipsoide erhaltenen Resultate auf das Problem der Collision von Schiffen an. Referent hält diese Anwendung nicht für berechtigt, weil die oben über den Grad der Näherung gemachte Voraussetzung hier nicht zutrifft.