The form of standing waves on the surface of running water. (Q1546330)

Auf der Oberfläche einer mit constanter Geschwindigkeit fliessenden Flüssigkeit entstehen dadurch, dass dem Strome an einer bestimmen Stelle ein schmales Hindernis entgegengesetzt wird, regelmässige Wellen, und zwar solche von kürzerer Wellenlänge oberhalb, solche von längerer Wellenlänge unterhalb des Hindernisses. Zur Erklärung dieser Erscheinung wird in der vorliegenden Arbeit eine stationäre Flüssigkeitsbewegung in einer verticalen Ebene betrachtet. Das ursprünglich vorhandene Geschwindigkeitspotential \(\varphi = cx\) habe dadurch, dass auf die Oberfläche statt des ursprünglich constanten ein variabler Druck wirkt, die Form angenommen \[ (1) \qquad \varphi = cx + \Sigma \alpha e ^{-kz} \sin (kx + \varepsilon), \] so dass die neue Oberfläche \[ (2) \qquad cz = \Sigma \alpha \cos (kx + \varepsilon) \] ist. Aus (1) ergiebt sich unter der Annahme, dass von äusseren Kräften die Schwere, die Oberflächenspannung, sowie ein der Geschwindigkeit proportionaler Widerstand wirkt, für den veränderlichen Teil \(w\) des an der Oberfläche vorhandenen Druckes der Ausdruck \[ (3) \qquad \frac {cw}{\varrho} = \Sigma \alpha (g + Tk ^{2}-kc ^{2}) \cos (kx + \varepsilon) - hc \Sigma \alpha \sin (kx + \varepsilon), \] wobei \(\varrho\) die Dichtigkeit, \(T\) die Constante der Oberflächenspannung, \(h\) den Widerstandscoefficienten bezeichnet. Die obigen Gleichungen werden nun benutzt, um, wenn \(w = \varrho \cdot \varphi (x)\) gegeben ist, die Gestalt der Oberfläche zu ermitteln. Ueber \(\varphi (x)\) wird die Annahme gemacht, dass \(\varphi (x)\) nur in unmittelbarer Nähe von \(x = 0\) einen von Null verschiedenen Wert hat. Um \(\frac {w}{\varrho}\) in die Form (3) zu bringen, wird \(\varphi (x)\) durch das Fourier'sche Doppelintegral dargestellt \[ \varphi (x) = \frac {1}{\pi} \int ^{\infty} _{0} dk \int ^{+ \infty} _{- \infty} \varphi (v) \cos k (v - x) dv, \] wofür wegen der obigen Annahme über \(\varphi\) gesetzt wird: \[ (4) \qquad \varphi (x) = \frac {1}{\pi}\;\varPhi \int ^{\infty} _{0} dk\cos(kx); \] hier ist \[ \varPhi = \int \varphi (v) dv. \] Da die rechten Seiten von (3) und (4) gleich sein sollen, so geht (2) über in \[ (5) \qquad z = \frac{1}{\pi} \;\varPhi \int ^{\infty} _{0} dk\;\frac {(g + Tk^{2} - kc^{2}) \cos(kx) + hc \sin (kx)}{(g - Tk^{2} - kc^{2})^{2} + h^{2} c^{2}}. \] Die in (5) vorkommenden Integrale werden für den Fall, dass der Ausdruck \(g + Tk^{2} -c^{2}k\) sich in reelle Factoren zerlegen lässt, auf die beiden Integrale \[ \int ^{\infty} _{kx} \frac {\cos u \; du}{u} \quad \text{und} \quad \int ^{kx} _{0} \frac {\text{sin} u \; du}{u} \] zurückgeführt; die weitere Discussion ergiebt das gewünschte Resultat. Der Fall, dass die oben erwähnte Function zweiten Grades von \(k\) keine reellen Factoren hat, führt auf complicirtere bestimmte Integrale, ist aber praktisch von geringerem Interesse.