On the transformation theory of the elliptic functions. Treatise 3. (Q1546394)

Fortsetzung der Untersuchungen in demselben J. LXXXVII. 199-216, und LXXXVIII. 205-212, über welche F. d. M. XI. 1879, 295 (JFM 11.0295.01) berichtet worden ist. Der Herr Verfasser vereinfacht die bei der Transformation vorkommenden numerischen Rechnungen dadurch, dass er die Entwickelungen von \[ \varDelta^{\frac{1}{12}}=\frac{\pi}{\omega}\;h^{\frac{1}{6}}\prod^{\infty}_{\nu=1} (1-h^{2\nu})^2=\frac{\pi}{\omega}\left[\sum^{+\infty}_{\lambda=-\infty} (-1)^{\lambda}h^{\frac{(6\lambda+1)^2}{12}}\right]^2 \] und von \(\varDelta^{\frac{2}{12}}, \varDelta^{\frac{3}{12}}\) etc. nach Potenzen von \(h\) einführt, wo dann bei den Modulargleichungen die Entwickelung von \[ u=\root 4\of{k}=\sqrt{2} h^{\frac{1}{8}} \prod^{\infty}_{\nu-1} \;\frac{1+h^{2\nu}}{1+h^{2\nu-1}} \] und von \(u^2, u^3\), etc. nach Potenzen von \(h\) eintritt. Die Entwickelung von \(\Pi^{\infty}_{\nu=1}(1-h^{2\nu})^n\) nach Potenzen von \(h^2\), welche hier gegeben wird, hat nämlich erstens kleinere Coefficienten als die in der Entwickelung von \(u^n\) auftretenden, und zweitens wird die Bildung dieser Coefficienten einzeln möglich. Um noch andere Relationen für diese Coefficienten zu gewinnen, werden statt der früher betrachteten Grössen \(f, f_r, g_2, g_3\) die Grössen \[ L_{\infty}=\left(\frac{D}{\varDelta}\right)^{\frac{1}{24}}= \varDelta^{\frac{n-1}{24}}f, \quad L_r=i^{\frac{n-1}{2}} \left(\frac{D_r}{\varDelta}\right)^{\frac{1}{24}}= \varDelta^{\frac{n-1}{24}}f_r, \] \[ \gamma_2=\frac{g_2}{\varDelta^{\frac{1}{3}}}, \quad \gamma_3=\frac{g_3}{\varDelta^{\frac{1}{2}}} \] eingeführt und die früher aufgestellte Gleichung für \(f^2\) durch Multiplication mit \(\varDelta^{\frac{n^2-1}{12}}\) in eine für \(L^2\) umgewandelt, deren Coefficienten ganzzahlige Functionen von \(\gamma_2\) und \(\gamma_3\) sind. Das Vorige wird nun auf die Transformation \(23^{\text{ten}}\) Grades angewendet, und die Modulargleichung für \(n=23\) in rationaler Form gegeben.