On the application of the elliptic and ultraelliptic integrals to the theory of unicursal curves. (Q1546416)

Ist \(t\) ein variabler Parameter, so stellt die Gleichung \[ xf(t)+y\varphi(t)+\theta(t)=0, \] in welcher \(f(t), \varphi(t), \psi(t)\) ganze Functionen bedeuten, in rechtwinkligen Coordinaten die veränderliche Tangente einer einläufigen Curve dar. Bildet man den Abstand dieser Tangente von einem festen Punkte, so erhält man einen Ausdruck, welcher die Wurzeln \(\sqrt{f(t)^2+\varphi(t)^2}\) im Nenner oder Zähler enthält, und da der Radicand quadratische Factoren haben kann, soll diese Wurzel geschrieben werden \(P(t)\sqrt{F(t)}.\) Ist \(F(t)\) constant, so ist die Distanz eines Punktes von der Tangente \((t)\) nach Grösse und Vorzeichen bestimmt, und die Curve wird alsdann vom Herrn Verfasser eine ``Richtungscurve'' (courbe de direction) genannt. Im andern Falle kann man die Curve als eine doppelte auffassen, der in jedem Punkte zwei entgegengesetzt gerichtete Tangenten zukommen. Wenn eine Tangente nach Lage und Richtung gegeben ist, so entspricht ihr nicht nur ein Wert des Parameters \(t\), sondern auch ein Vorzeichen von \(\sqrt{F(t)}\). Ist die Curve eine Ellipse oder eine Hyperbel, so ist \(F(t)\) vom vierten Grade. Betrachtet man diese Kegelschnitte als Eingehüllte von Halbstrahlen, so muss man sie als Curven vom Geschlecht 1 definiren (in einem anderen Sinne, als dem gewöhnlichen), und es existiren nach dieser Definition unendlich viele Curven vom Geschlecht 1, nämlich alle die, für welche \[ f(t)^2+\varphi(t)^2=P(t)^2F(t), \] wo \(F(t)\) ein Polynom dritten oder vierter Grades bedeutet Ist \(k\) ein gegebener Kegelschnitt, und sind \(A\) und \(B\) zwei feste Tangenten desselben, \(T\) eine beliebige Tangente, und construirt man den Kreis, welcher \(ABT\) berührt und welcher vollständig bestimmt ist, sobald die Richtungen von \(ABT\) gegeben sind, dann hat dieser Kreis mit dem Kegelschnitt noch eine vierte Tangente \(\varTheta\) gemein, und es findet zwischen \(\varTheta\) und \(T\) Reciprocität statt. Die beiden Tangenten bilden also eine Involution auf dem Kegelschnitt. Da \(T\) durch den Parameter \(t\) und einen Wert von \(\sqrt{F(t)}\) bestimmt ist, so müssen, wenn \(\vartheta\) und \(\sqrt{F(\vartheta)}\) die dem Punkte \(\varTheta\) entsprechenden Werte sind, Relationen von folgender Form bestehen: \[ \vartheta=\varPhi(t,\sqrt{F(t)});\quad\sqrt{F(\vartheta)}= \Psi(t,\sqrt{F(t)}) \] und ebenso auch \[ t=\varPhi(\vartheta\sqrt{(F(\vartheta)});\quad \sqrt{F(t)}=\Psi(\vartheta\sqrt{ F(\vartheta)}), \] wo \(\varPhi\) und \(\Psi\) rationale Functionen bedeuten. Aus diesen Ralationen ergiebt sich der Zusammenhang, in dem die betrachteten Gebilde mit den elliptischen Functionen stehen. Betrachtet man z. B. die Schaar von Kreisen, welche die festen Tangenten \(A\) und \(B\) mit dem Kegelschnitt gemein haben, so ist der Zusammenhang für die Parameter der Berührungspunkte der veränderlichen Tangenten \[ \frac{dt}{\sqrt{F(t)}}+\frac{d\vartheta}{\sqrt{F(\vartheta)}}=0. \] Die Tangenten \(T\) und \(\varTheta\) schneiden sich in einem Punkte \(M\), dessen Ort als mit \(k\) confocaler Kegelschnitt bestimmt wird. Es wird hiermit ein bereits von Chasles gefundes Resultat wieder gewonnen, nur dass die Vorzeichen der Wurzeln durch Methode des Herrn Verfassers vollständig bestimmt sind. In einem zweiten kurzen Paragraphen wird folgende Betrachtung angedeutet. Wenn man die Tangente des Kegelschnitts \(H\) durch das Argument einer elliptischen Function darstellt, so wird die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass vier Tangenten denselben Kreis berühren, diese, dass die Summe der vier Argumente eine vollständige Periode \((2n\omega+2ni\omega')\) betrage. Ein kubischer Hypercyklus (s. F. d. M. XIV. 1882. p. 541, JFM 14.0541.02) ist durch fünf Tangenten bestimmt, folglich ist die Bedingung dafür, dass sechs Tangenten eines Kegelschnitts zugleich eine derartige Curve berühren, diese, dass Summe der sechs Argumente einer vollständigen Periode gleich sei. Die Aufgabe, einen Krümmungskreis eines Kegelschnitts zu construiren, welcher eine gegebene Tangent berührt, reducirt sich auf die Auflösung der Gleichung \[ \sin\text{am\,}3x=\sin\text{am\,}a. \] Ueber die hyperelliptischen Integrale und über die Anwendung dieser Betrachtungen auf Raumcurven behält sich der Herr Verfasser weitere Mitteilungen vor.