Bemerkungen zu Art. XXIV. und XXV. der ``kleineren Mitteilungen'' in Schlömilch Z. XXVII. p. 380. (Q1546650)

Herr Schlömilch hat auf zwei projectivische Sätze die Aufmerksamkeit gelenkt, deren Beweis Herr A. Sachse später durch metrische Relationen gegeben hat. Herr Schröter gewinnt ihn rein durch räumliche Anschauung und zeigt, dass jene Sätze ihre Wurzel haben in bekannten Relationen von drei ``in desmischer Lage'' befindlichen Tetraedern, auf welche Herr C. Stephanos wieder\(^*)\) [\(^*\)Die erste Ableitung der drei von Herrn Stephanos ``desmisch'' genannten Tetraeder aus dem Hexaeder findet sich zwanzig Jahre früher bei O. Hermes, Borchardt J. LVI. 210-216 in der Abhandlung: ``Ausdehnung eines Satzes vom ebenen Vierseit auf räumliche Figuren.''] aufmerksam machte (Sur les systèmes desmiques de trois tétraèdres, Bull. S. M., siehe F. d. M. XI. 431., JFM 11.0431.01). Je zwei desmisch verbundene Tetraeder liegen auf vierfache Weise gleichzeitig perspectivisch, und die vier Perspectivitätscentra bilden die Ecken eines dritten Tetraeders, welches zu jedem der beiden ersten Tetraeder in derselben Beziehung steht, wie diese unter sich. Diese desmische Beziehung von drei Tetraedern tritt in manchen räumlichen Untersuchungen auf; so zeigt sich ein solches System von drei Tetraedern in desmischer Lage auch bei der Gruppe der 27 Geraden auf einer allgemeinen Oberfläche dritter Ordnung, worauf Herr F. Schur die Aufmerksamkeit Herrn Schröter's zuerst lenkte. ``Die 27 Geraden auf einer allgemeinen Oberfläche dritter Ordnung liegen zu je dreien in 45 Ebenen. Nimmt man eine derselben, \(\delta\) heraus, so enthält sie drei Gerade, durch deren jede ausser der Ebene \(\delta\) selbst noch vier andere Ebenen hindurchgehen, welche Geradenpaare der Fläche enthalten; ihre Durchschnittspunkte bilden ein Tetraeder. Die aus den drei Geraden in \(\delta\) dadurch hervorgehenden drei Tetraeder befinden sich in desmischer Lage.''