Circular coordinates. (Q1546685)

Nimmt man zwei Beziehungspunkte \(A\) und \(B\) an, so ist die Lage eines Punktes \(P\) einer Ebene bestimmt durch den complexen Wert des Lagenverhältnisses von \(P\), nämlich \[ \frac {AP}{BP} = \varrho(\cos\vartheta + i \sin \vartheta)=x+iy. \] Die reellen Grössen werden als Coordinaten von \(P\) in einem System, und \(x\) und \(y\) in einem andern System angenommen. Liegt \(B\) im Unendlichen, so werden sie zu Polar- oder rechtwinkligen Coordinaten. Es wird gezeigt, dass in jedem System der Punkt bestimmt wird durch Kreise, welche einander rechtwinklig schneiden. Ferner wird das System betrachtet, in welchem \(x\) ersetzt ist durch \(x_1 = 1-x\), und es wird gezeigt, dass \(x_1\), \(y\) die rechtwinkligen cartesischen Coordinaten des zu \(P\) inversen Punktes sind, wo \(B\) das Inversionscentrum ist. Daraus folgt, dass die Gleichung ersten Grades in \(x_1\), \(y\) oder in \(x\), \(y\) einen Kreis darstellt, der durch \(B\) geht, und dass \[ x^2+y^2+mx+ny = 0 \] die allgemeine Gleichung der geraden Linie ist. Wird das complexe anharmonische Verhältnis von \(P\) in Beziehung auf drei Fundamentalpunkte \(A\), \(B\) und \(Q\) gegeben, so ist der Punkt noch durch Kreise bestimmt, welche sich unter rechten Winkeln schneiden. In diesen Systemen ist Unendlich ein Punkt, nicht eine gerade Linie. Ferner wird das complexe anharmonische Verhältnis von vier Punkten betrachtet. Es wird gezeigt, dass, wenn \(AB\) in \(O\) halbirt wird, \(OC\), \(OD\) gleiche Winkel mit \(OA\) machen und \(OC.OD = OA^2\) ist, \(AB\) und \(CD\) Paare conjugirter harmonischer Punkte sind. Wenn sich drei Kreise unter einander orthogonal schneiden, so sind die Schnittpunkte drei Paare conjugirter harmonischer Punkte. Dieselbe Construction bestimmt Punkte, deren zwei anharmonische Verhältnisse \(i\) und \(-i\) sind. Wenn in Verbindung mit einem Dreieck, dessen Seiten \(a\), \(b\), \(c\) sind, ein Punkt gefunden wird, dessen Entfernungen von den Scheiteln \(a'\), \(b'\) und \(c'\) sind, wo \(aa' = bb' = cc'\), so haben die sechs anharmonischen Verhältisse der vier Punkte zwei verschiedene Werte, nämlich \[ \tfrac 12\pm \tfrac 12\;i\sqrt{3}. \]