Mémoire sur les surfaces enveloppes de sphères. (Q1546851)

Die Flächen, welche von einer Schar von Kugeln eingehüllt werden, und welche zu der Klasse von Flächen mit einem System ebener Krümmungslinien gehören, sind wiederholt der Gegenstand der Untersuchung der Mathematiker gewesen, namentlich haben Bonnet, Serret, Joachimsthal, Ribaucour sich mit ihnen beschäftigt. Kürzlich hat Herr Bouquet einen historischen Ueberblick über die betreffende Literatur gegeben; ebenso hat Herr Darboux sich mit dieser Frage beschäftigt. Auch Referent ist, wie zu bemerken gestattet sein möge, bei seinen Untersuchungen über Flächen mit gegebener Mittelpunktsfläche und über Krümmungsverwandtschaft (Hoppe Arch. LXVIII. 315-352. Cfr. F. d. M. XIV. 1882. 656, JFM 14.0656.01) auf dieselben geführt worden. Der Herr Verfasser hat sich nun die Aufgabe gestellt, die Theorie dieser Flächen, denen er den Namen ``Perisphären'' giebt, ausgehend von der allgemeinen Flächentheorie, wie sie Codazzi aufgestellt hat, durchzuführen, und ist dabei auch zu einer Reihe neuer Resultate gelangt. Uebrigens hat fast gleichzeitig Herr Darboux die Flächen mit einem System ebener isothermer Krümmungslinien nach derselben Theorie behandelt (Referat in diesem Bande p. 726 (JFM 15.0726.02)), und seine Untersuchungen haben mit der vorliegenden mehrere Berührungspunkte. Unter den Resultaten der Arbeit ist hervorzuheben, dass die Darstellung der Flächen in Krümmungsparametern durchgeführt ist, wobei die eine Schar der Parameterlinien, die der Kreise als Parallelen, die andere als Meridiane bezeichnet werden. Zu diesem Behufe ist die Integration einer ziemlich verwickelten Differentialgleichung nötig, welche der Herr Verfasser in ganz ähnlicher Weise ausführt, wie dies von Herrn Darboux in der erwähnten Arbeit geschehen ist. Ferner wird der Herr Verfasser auf die sogenannten Inflexionslinien geführt, d. i. die Orte der Punkte, durch welche die Meridiane mit geodätischen Wendepunkten hindurchgehen. Es giebt zwei solche Linien, welche jeden Parallelkreis in zwei diametral gegenüberliegenden Punkten schneiden. Der Herr Verfasser untersucht dann noch eine Reihe von speciellen Fällen und gelangt schliesslich zu folgender Klassification. Erstes Geschlecht, Die Directrix, d. h. der Ort der Kugelcentra, ist geradlinig: Umdrehungsflächen. Zweites Geschlecht. Die Directrix ist eine ebene Curve: Symmetrische Perisphären. Drittes Geschlecht. Die Directrix ist gewunden. Unter den Flächen des zweiten Geschlechts sind diejenigen ausgezeichnet, deren Parallelkreise durch zwei feste Punkte gehen; sie entstehen aus dem Kegel durch Transformation vermittelst reciproker Radien: Cykliden. Die Flächen des dritten Geschlechts werden in zwei Hauptarten und eine Uebergangsart unterschieden nach der Realität der Enveloppe der Parallelkreise. Und hierbei ist wieder eine Unterabteilung, bei welcher der eine Ast dieser Enveloppe sich auf einen Punkt reducirt. Alsdann lässt sich die Fläche durch reciproke Radien in eine abwickelbare Fläche transformiren.