Ueber einen das System zweier Flächen zweiten Grades betreffenden Satz und einen damit verbundenen Strahlencomplex zweiten Grades. (Q1546877)

Für den in seiner Habilitationsschrift ``Ueber die durch collineare Grundgebilde erzeugten Curven und Flächen, Leipzig 1881'' gegebenen Satz: ``Enthält die erste Erzeugung einer Fläche zweiten Grades \(G\) ein Tripel conjugirter Strahlen in Bezug auf eine Fläche zweiten Grades \(F\), so enthält sowohl die erste als die zweite Erzeugung von \(G\) eine einfache unendliche Schar solcher Tripel'', giebt Herr Schur zunächst einen neuen geometrischen Beweis und zeigt dann mittelst der Abbildung der Erzeugenden von \(G\) auf einen Kegelschnitt, dass die betreffende Bedingung durch das Verschwinden der Invariante \(\varTheta\varTheta'-4\varDelta\varDelta'\) ausgedrückt ist, welche symmetrisch in den Coefficienten beider Flächen ist, und zugleich rational durch die Coefficienten \(A_{ik}\) desjenigen Complexes dargestellt werden kann, dessen Strahlen \(J\) und \(G\) in harmonischen Punktepaaren treffen. Nimmt man umgekehrt diesen Complex \(A\) als gegeben an, so existirt eine \(\infty^1\) Schar von Flächenpaaren zweiten Grades, welche zu demselben Complexe \(A\) gehören, also auch in derselben projectiven Beziehung stehen. Dieses System von Flächenpaaren hat nun, falls die obige Invariante verschwindet, das folgende Schliessungstheorem: Jede Fläche der Schar wird von der ihr zugehörigen und einer gewissen zweiten Fläche der Schar in Curven der Singularitätenfläche von \(A\) geschnitten; dieser zweiten Fläche gehört wieder eine dritte an, welche mit ihr ein Paar bildet; diese wird wiederum von einer gewissen vierten in einer Curve der Singularitätenfläche geschnitten, u. s. f. Schliesst sich nun einmal dieser Process, so dass er im ganzen sechs Flächen umfasst, so schliesst er sich stets in derselben Weise. An diesen Satz, der bei imaginären Erzeugenden von \(F\) oder \(G\) die Bedeutung des Verschwindens der Invariante charakterisirt, schliesst der Verfasser den Nachweis, dass der einzige eigentliche Complex zweiten Grades, welcher beide Scharen von Erzeugenden einer \(F_2\) enthält, von den Strahlen gebildet wird, die zwei solche Flächen in harmonischen Punktepaaren schneiden.