Einführung in die Theorie der isogonalen Verwandtschaften und der conformen Abbildungen, verbunden mit Anwendungen auf mathematische Physik. (Q1546894)

Aus einer grösseren zusammenhängenden Reihe von Abhandlungen über winkeltreue Abbildung ist dieses Compendium der Functionenlehre, denn wesentlich als ein solches stellt es sich dar, hervorgegangen. Es wird zunächst der Begriff der Zuordnung erörtert, welcher durch die Relation \(f(x+yi) = X+ Yi\) ausgedrückt ist, wobei der Specialfall \(\sqrt{x+yi}\) sogleich Gelegenheit giebt, das Wesen der Riemann'schen Flächen zu erläutern. Eingehend wird sodann die durch \((x+yi)^{-1}= X+Yi\) gegebene Verwandtschaft zweier Figuren discutirt; es werden dabei zugleich ``isothermische Coordinaten'' eingeführt, welche der mannigfachsten Verwendung in Geometrie und Kinematik fähig sind. Ein weiteres Kapitel gilt der Abbildung durch rational gebrochene algebraische Functionen vom ersten Grade. Diesen ins einzelne durchgearbeiteten Beispielen folgt die allgemeine Theorie der isogonalen Verwandtschaft. Jetzt ist es an der Zeit, eingehend auf den oben nur skizzirten Fall der irrationalen Functionen zurückzukommen; dem bekannten Princip der Uebertragung durch reciproke Radien wird dasjenige der ``lemniskatischen Spiegelung'' zur Seite gestellt, und es ergeben sich verschiedene interessante Lehrsätze über Lemniskaten; später wird die Definition dieser Curve verallgemeinert, indem zusammengehörige Scharen von ``irregulären Hyperbeln und Lemniskaten verschiedener (\(n^{\text{ter}}\)) Ordnung'' der Betrachtung unterstellt werden. Der Zusammenhang dieser functionentheoretischen Probleme mit demjenigen der elektrischen Ströme in einer Ebene tritt allenthalben hervor. Nunmehr kommen auch gewisse Transcendenten als Abbildungsfunctionen zur Geltung, zuerst bloss Logarithmus und Exponentialgrösse, dann aber auch die elliptischen Functionen sin am, cos am und \(\varDelta \,\text{am}\). Es stellt sich heraus, dass aus diesen Untersuchungen auch die praktische Kartographie bedeutenden Nutzen ziehen kann, resp. bereits gezogen hat, insbesondre kommt August's ``epicykloidische Projection'' in Frage. Das Holzmüller'sche Werk ist durchaus elementar gehalten, soweit es der behandelte Stoff nur irgend zulässt, auch ist kein Mangel an geschichtlichen und litterarischen Nachweisen. Von dem Stoffreichtum kann diese Anzeige nur eine unvollkommene Vorstellung geben; Referent verweist deshalb auf seine ausführliche Besprechung in Band XIV. der ``Zeitschrift f. math. und nat. Unterricht.''